Radiactividad y desintegración

a) Desintegración beta ($\beta^-$) del bismuto. En el núcleo, un neutrón se transforma en un protón, un electrón y un antineutrino, $\ ^1_0n\rightarrow\ ^1_1p + \ ^{\ 0}_{-1}e + \bar\nu_e$; el electrón (partícula $\beta^-$) y el antineutrino se emiten y el protón se queda en el núcleo. Por eso el número atómico aumenta en 1 y el másico no cambia (el número total de nucleones es el mismo):$$^{210}_{83}\text{Bi}\ \rightarrow\ ^{210}_{84}\text{Po} + \ ^{\ 0}_{-1}e + \bar\nu_e$$($Z:83\to84$, $A$ se mantiene en $210$): el nucleido resultante es el polonio-210, $Z=84$, $A=210$.

Desintegración alfa del radón. El núcleo emite una partícula $\alpha$, que es un núcleo de helio (2 protones y 2 neutrones). El núcleo resultante tiene 2 protones menos y 4 nucleones menos:$$^{222}_{86}\text{Rn}\ \rightarrow\ ^{218}_{84}\text{Po} + \ ^{4}_{2}\text{He}$$($Z:86\to84$, $A:222\to218$): el nucleido resultante es el polonio-218, $Z=84$, $A=218$. En ambas ecuaciones se conservan la carga (suma de $Z$) y el número de nucleones (suma de $A$), que son las leyes de Soddy-Fajans. Curiosamente ambos conducen a isótopos del polonio.

b) La ley de desintegración, $m = m_0\,e^{-\lambda t}$ con $\lambda = \ln2/T_{1/2}$, equivale a $m = m_0\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$. Número de semividas en $t=15{,}2\,\text{días}$:$$n_{\text{Bi}} = \frac{15{,}2}{5} = 3{,}04\qquad n_{\text{Rn}} = \frac{15{,}2}{3{,}8} = 4$$Masa restante:$$m_{\text{Bi}} = 3\left(\tfrac12\right)^{3{,}04} = 0{,}365\ \text{mg}$$$$m_{\text{Rn}} = 10\left(\tfrac12\right)^{4} = \frac{10}{16} = 0{,}625\ \text{mg}$$

La simulación se detiene en los $15{,}2$ días con la muestra de radón ($T_{1/2} = 3{,}8$ días, $4\,T_{1/2}$). Para ver el bismuto, cambia la semivida a $5$ días: la marca se queda en los $15{,}2$ días.