FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio · Opción B
Enunciado
Considérese un satélite de masa 103 kg10^{3}\,\text{kg} que orbita alrededor de la Tierra en una órbita circular geoestacionaria.

a) Determine el radio que tendría que tener la órbita para que su periodo fuese doble del anterior.

b) ¿Cuál es la diferencia de energía del satélite entre la primera y la segunda órbita?

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  r1=4,22⋅107 mr2=22/3 r1=6,70⋅107 m  \boxed{\;r_1 = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad r_2 = 2^{2/3}\,r_1 = 6{,}70\cdot 10^{7}\ \text{m}\;}  ΔE=E2−E1=1,74⋅109 J  \boxed{\;\Delta E = E_2 - E_1 = 1{,}74\cdot 10^{9}\ \text{J}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

El dato escondido es el periodo: un satélite geoestacionario da una vuelta en lo mismo que tarda la Tierra en girar sobre sí misma, un día (T1=24 hT_1 = 24\,\text{h}). Con él, igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta (o, lo que es lo mismo, con la tercera ley de Kepler), sale el radio de la órbita.

Para el periodo doble no hace falta repetir la cuenta desde cero: Kepler dice que r3r^3 es proporcional a T2T^2, así que al duplicar el periodo el radio se multiplica por 22/32^{2/3}.

En b) se usa la energía mecánica de un satélite en órbita circular, E=−GMTm/2rE = -GM_Tm/2r: al subir a una órbita más alta la energía es menos negativa, es decir, mayor. La diferencia es lo que habría que aportarle para el cambio.
2

Desarrollo

a) Periodo de la órbita geoestacionaria:T1=24 h=24⋅3600=86 400 sT_1 = 24\,\text{h} = 24\cdot 3600 = 86\,400\ \text{s}En una órbita circular la atracción gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:G MT mr2=m ω2r=m(2πT)2r⟹r3=G MT T24π2G\,\frac{M_T\,m}{r^2} = m\,\omega^2 r = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r\quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}que es la tercera ley de Kepler. Para la órbita geoestacionaria:r1=(6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅86 40024π2)1/3=4,22⋅107 mr_1 = \left(\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 86\,400^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m}Con periodo doble, T2=2T1T_2 = 2T_1, y como r3∝T2r^3 \propto T^2:r23r13=T22T12=4⟹r2=41/3 r1=22/3⋅4,22⋅107=6,70⋅107 m\frac{r_2^3}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{T_1^2} = 4\quad\Longrightarrow\quad r_2 = 4^{1/3}\,r_1 = 2^{2/3}\cdot 4{,}22\cdot 10^{7} = 6{,}70\cdot 10^{7}\ \text{m}b) Energía mecánica de un satélite en órbita circular (cinética más potencial):E=12 m v2−G MT mr=−G MT m2rE = \frac{1}{2}\,m\,v^2 - G\,\frac{M_T\,m}{r} = -G\,\frac{M_T\,m}{2r}En cada órbita:E1=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅1032⋅4,22⋅107=−4,71⋅109 JE_1 = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 10^{3}}{2\cdot 4{,}22\cdot 10^{7}} = -4{,}71\cdot 10^{9}\ \text{J}E2=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅1032⋅6,70⋅107=−2,97⋅109 JE_2 = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 10^{3}}{2\cdot 6{,}70\cdot 10^{7}} = -2{,}97\cdot 10^{9}\ \text{J}La diferencia:ΔE=E2−E1=−2,97⋅109−(−4,71⋅109)=1,74⋅109 J\Delta E = E_2 - E_1 = -2{,}97\cdot 10^{9} - \left(-4{,}71\cdot 10^{9}\right) = 1{,}74\cdot 10^{9}\ \text{J}La segunda órbita, más alta, tiene más energía: para pasar de la geoestacionaria a ella habría que comunicar al satélite 1,74⋅109 J1{,}74\cdot 10^{9}\,\text{J}.

En la simulación (que necesita el radio terrestre, 6370 km6370\,\text{km}, para dibujar la Tierra; no afecta a las cuentas) puedes preparar el cambio entre las dos órbitas y ver sus energías:
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

«Geoestacionario» es un dato: periodo de un día, T=86 400 sT = 86\,400\,\text{s}. Si el enunciado no da más, ese es el que hay que usar (con el día sidéreo, 86 164 s86\,164\,\text{s}, el radio apenas cambia: sigue saliendo 4,22⋅107 m4{,}22\cdot 10^{7}\,\text{m}).

Cuando una magnitud se multiplica por un factor, piensa en proporciones antes de calcular: con r3∝T2r^3 \propto T^2, el radio nuevo es 22/3≈1,592^{2/3} \approx 1{,}59 veces el anterior.
Paso 1 de 3
¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.
¿Te atascas?Pregunta a otros estudiantes y profesores en la comunidad.
Sigue practicando
Satélites, órbitas y leyes de Kepler
El próximo 12 de agosto de 2026 tendrá lugar un eclipse total de Sol: la Luna se situará entre la Tierra y el Sol…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JulioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El 1 de abril de 2026 se lanzó la misión Artemis II, que transportaba a la nave Orion con cuatro astronautas para…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
Se ha situado un satélite de comunicaciones de masa 1500 kg1500\,\text{kg} en una órbita circular alrededor de la Tierra…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El satélite Hope, que está en órbita elíptica alrededor del planeta Marte, fue enviado por la agencia de los…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1
Apuntes y todos los problemas de Campo gravitatorio →