FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2018 · Julio · Opción B
Enunciado
Un satélite artificial de masa 712 kg712\,\text{kg} describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 694 km694\,\text{km}. Calcule:

a) La velocidad y el periodo del satélite en la órbita.

b) La energía necesaria para trasladarlo desde su órbita hasta otra órbita circular situada a una altura de 1000 km1000\,\text{km} sobre la superficie de la Tierra.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}.
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Resultado
  v=7,51⋅103 m/sT=5,91⋅103 s  \boxed{\;v = 7{,}51\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\qquad T = 5{,}91\cdot 10^{3}\ \text{s}\;}  ΔE=8,33⋅108 J  \boxed{\;\Delta E = 8{,}33\cdot 10^{8}\ \text{J}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria es justo la fuerza centrípeta que mantiene al satélite girando. De esa igualdad sale la velocidad orbital, y el periodo es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia.

Para cambiar de órbita hay que aportar la diferencia de energía mecánica entre las dos órbitas. En una órbita circular esa energía es E=−GMm/2rE = -GMm/2r: negativa (el satélite está ligado) y menos negativa cuanto más lejos. Subir a una órbita más alta cuesta energía. Ojo: las distancias van desde el centro de la Tierra, así que hay que sumar el radio terrestre a las alturas.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita:r1=RT+h1=6,37⋅106+6,94⋅105=7,064⋅106 mr_1 = R_T + h_1 = 6{,}37\cdot 10^{6} + 6{,}94\cdot 10^{5} = 7{,}064\cdot 10^{6}\ \text{m}Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta:G MT mr12=m v2r1⟹v=G MTr1=6,67⋅10−11⋅5,97⋅10247,064⋅106=7,51⋅103 m/s\frac{G\,M_T\,m}{r_1^2} = \frac{m\,v^2}{r_1}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r_1}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{7{,}064\cdot 10^{6}}} = 7{,}51\cdot 10^{3}\ \text{m/s}El periodo:T=2πr1v=2π⋅7,064⋅1067,51⋅103=5,91⋅103 s  (≈98,5 min)T = \frac{2\pi r_1}{v} = \frac{2\pi\cdot 7{,}064\cdot 10^{6}}{7{,}51\cdot 10^{3}} = 5{,}91\cdot 10^{3}\ \text{s}\ \ (\approx 98{,}5\ \text{min})
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b) Radio de la nueva órbita:r2=RT+h2=6,37⋅106+1,00⋅106=7,37⋅106 mr_2 = R_T + h_2 = 6{,}37\cdot 10^{6} + 1{,}00\cdot 10^{6} = 7{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}La energía mecánica en una órbita circular es E=Ec+Ep=12mv2−GMTmr=−GMTm2rE = E_c + E_p = \tfrac12 m v^2 - \dfrac{G M_T m}{r} = -\dfrac{G M_T m}{2r}:E1=−G MT m2 r1=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅7122⋅7,064⋅106=−2,007⋅1010 JE_1 = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r_1} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 712}{2\cdot 7{,}064\cdot 10^{6}} = -2{,}007\cdot 10^{10}\ \text{J}E2=−G MT m2 r2=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅7122⋅7,37⋅106=−1,923⋅1010 JE_2 = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r_2} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 712}{2\cdot 7{,}37\cdot 10^{6}} = -1{,}923\cdot 10^{10}\ \text{J}La energía que hay que aportar es la diferencia:ΔE=E2−E1=G MT m2(1r1−1r2)=8,33⋅108 J\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{G\,M_T\,m}{2}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = 8{,}33\cdot 10^{8}\ \text{J}Es positiva: hay que dar energía para subir de órbita (aunque en la nueva órbita el satélite vaya más despacio, a 7,35⋅103 m/s7{,}35\cdot 10^{3}\,\text{m/s}).
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Consejo

Las alturas no son radios: suma siempre RTR_T antes de usar rr en cualquier fórmula.

Al restar E2−E1E_2 - E_1 con números tan parecidos se pierde precisión. Es mejor sacar factor común, ΔE=GMTm2(1r1−1r2)\Delta E = \tfrac{G M_T m}{2}\left(\tfrac{1}{r_1} - \tfrac{1}{r_2}\right), y operar con todas las cifras hasta el final.
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