Campo y potencial eléctrico

a) Distancias desde cada carga al punto $P(1,\,1)$:$$r_1 = \left|(1,1)-(2,2)\right| = \sqrt{2}\ \text{m}\qquad r_2 = \left|(1,1)-(-2,-2)\right| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\ \text{m}$$El campo de la carga 1, en $(2,\,2)$, apunta de ella hacia $P$, es decir, según $-(\vec i+\vec j)/\sqrt 2$; el de la carga 2, en $(-2,\,-2)$, según $+(\vec i+\vec j)/\sqrt 2$. Domina el de la carga más cercana:$$E = \frac{Kq}{r_1^2} - \frac{Kq}{r_2^2} = Kq\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{18}\right) = \frac{4}{9}\,Kq$$$$q = \frac{9E}{4K} = \frac{9\cdot 5\cdot 10^{3}}{4\cdot 9\cdot 10^{9}} = 1{,}25\cdot 10^{-6}\ \text{C} = 1{,}25\ \mu\text{C}$$En $P'(-1,\,-1)$ la situación es la simétrica: ahora la carga 2 está a $\sqrt 2\,\text{m}$ y la carga 1 a $3\sqrt 2\,\text{m}$. El módulo vuelve a ser $5\cdot 10^{3}\,\text{N/C}$, y el sentido es el del campo de la carga 2, que se aleja de $(-2,\,-2)$ hacia el primer cuadrante, $(\vec i+\vec j)/\sqrt 2$:$$\vec E(P') = 5\cdot 10^{3}\,\frac{\vec i+\vec j}{\sqrt 2} = 3{,}54\cdot 10^{3}\left(\vec i+\vec j\right)\ \text{N/C}$$b) El potencial en $P'$ es la suma escalar de los potenciales de las dos cargas:$$V(P') = Kq\left(\frac{1}{\sqrt 2} + \frac{1}{3\sqrt 2}\right) = 9\cdot 10^{9}\cdot 1{,}25\cdot 10^{-6}\cdot\frac{4}{3\sqrt 2} = 1{,}06\cdot 10^{4}\ \text{V}$$En el infinito el potencial es nulo. El trabajo que tiene que hacer una fuerza externa para traer la carga $q' = 2\,\mu\text{C}$ sin variar su energía cinética es igual al aumento de su energía potencial:$$W_{\text{ext}} = q'\left(V(P') - V_\infty\right) = 2\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}06\cdot 10^{4} = 2{,}12\cdot 10^{-2}\ \text{J}$$Es positivo: hay que empujar la carga positiva contra la repulsión de las otras dos. El trabajo del campo es el mismo con signo contrario, $-2{,}12\cdot 10^{-2}\ \text{J}$.