FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2018 · Junio · Opción A
Enunciado
Un satélite de comunicaciones describe una órbita ecuatorial de modo que su velocidad angular es igual a la velocidad angular de la Tierra, por lo que visto desde la superficie siempre mantiene su posición fija sobre el mismo punto del ecuador (órbita geoestacionaria).

(a) Calcular en km el radio de la órbita del satélite y su altura sobre la superficie.

(b) La masa del satélite es m=2500 kgm = 2500\,\text{kg}. Calcular su energía cinética.

(c) Consideremos un satélite geoestacionario en órbita alrededor de otro planeta de la misma masa que la Tierra, pero cuyo periodo de rotación fuese 48 horas en lugar de 24. Explicar razonadamente si el radio de la órbita geoestacionaria alrededor de ese planeta sería mayor o menor.

Datos: constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}. Tierra: masa =5,98⋅1024 kg= 5{,}98\cdot 10^{24}\,\text{kg}; radio =6370 km= 6370\,\text{km}.
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Resultado
  r=42 200 kmh=35 900 kmEc=1,18⋅1010 Jr′=1,59 r (mayor)  \boxed{\;r = 42\,200\ \text{km}\qquad h = 35\,900\ \text{km}\qquad E_c = 1{,}18\cdot 10^{10}\ \text{J}\qquad r' = 1{,}59\,r\ (\text{mayor})\;}
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Estrategia

El periodo del satélite es el de rotación de la Tierra, T=24 hT = 24\,\text{h}. Igualando la atracción gravitatoria a la fuerza centrípeta se obtiene la tercera ley de Kepler, r3=GMT2/4π2r^3 = GMT^2/4\pi^2. La energía cinética en órbita circular es GMm/2rGMm/2r.
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Desarrollo

GM=6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024=3,99⋅1014 N m2/kgGM = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24} = 3{,}99\cdot 10^{14}\,\text{N m}^2/\text{kg}; T=86 400 sT = 86\,400\,\text{s}.

(a)r=GM T24π23=3,99⋅1014⋅86 40024π23=4,22⋅107 m=42 200 kmr = \sqrt[3]{\frac{GM\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 86\,400^2}{4\pi^2}} = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m} = 42\,200\ \text{km}h=r−R=42 200−6370=35 900 kmh = r - R = 42\,200 - 6370 = 35\,900\ \text{km}(b)Ec=GMm2r=3,99⋅1014⋅25002⋅4,22⋅107=1,18⋅1010 JE_c = \frac{GMm}{2r} = \frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 2500}{2\cdot 4{,}22\cdot 10^{7}} = 1{,}18\cdot 10^{10}\ \text{J}(c) Con la misma masa del planeta, r∝T2/3r \propto T^{2/3}. Si el periodo de rotación se duplica:r′r=(4824)2/3=22/3=1,59\frac{r'}{r} = \left(\frac{48}{24}\right)^{2/3} = 2^{2/3} = 1{,}59El radio de la órbita geoestacionaria sería mayor (unos 67 000 km67\,000\,\text{km}): para tardar más en dar una vuelta, el satélite tiene que estar más lejos, donde la atracción es menor y su velocidad también.
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Consejo

En el apartado c) no hace falta repetir la cuenta: la tercera ley de Kepler (r3∝T2r^3 \propto T^2) da directamente el cociente de radios.
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