FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2018 · Julio · Opción B
Enunciado
Un equipo de astrónomos ha detectado un planeta extrasolar que gira en torno a una estrella cuya masa es 6 %6\,\% mayor que la masa del Sol. La velocidad orbital del planeta, muy próximo a su estrella, es de 136 km/s136\,\text{km/s}.

(a) Calcular la distancia desde el centro del planeta al centro de la estrella.

(b) ¿Cuánto tiempo tarda el planeta en describir una órbita completa alrededor de su estrella (en días)?

(c) Suponiendo que una sonda espacial en órbita alrededor de esta estrella a una distancia de 100 millones de km realiza una maniobra para alejarse a una nueva órbita a 110 millones de km, calcular la variación de su energía potencial. ¿Aumenta o disminuye? Explicar. Masa de la sonda m=250 kgm = 250\,\text{kg}.

Constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}. Masa del Sol MS=1,99⋅1030 kgM_S = 1{,}99\cdot 10^{30}\,\text{kg}.
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Resultado
  r=7,61⋅109 mT=4,07 dıˊasΔEp=+3,20⋅1010 J (aumenta)  \boxed{\;r = 7{,}61\cdot 10^{9}\ \text{m}\qquad T = 4{,}07\ \text{días}\qquad \Delta E_p = +3{,}20\cdot 10^{10}\ \text{J (aumenta)}\;}
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Estrategia

En una órbita circular, v2=GM/rv^2 = GM/r, de donde sale el radio. El periodo es 2πr/v2\pi r/v. La energía potencial es Ep=−GMm/rE_p = -GMm/r: se calcula en las dos órbitas y se restan.
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Desarrollo

M=1,06⋅1,99⋅1030=2,11⋅1030 kgM = 1{,}06\cdot 1{,}99\cdot 10^{30} = 2{,}11\cdot 10^{30}\,\text{kg}; GM=1,41⋅1020 N m2/kgGM = 1{,}41\cdot 10^{20}\,\text{N m}^2/\text{kg}.

(a)r=GMv2=1,41⋅1020(1,36⋅105)2=7,61⋅109 mr = \frac{GM}{v^2} = \frac{1{,}41\cdot 10^{20}}{(1{,}36\cdot 10^5)^2} = 7{,}61\cdot 10^{9}\ \text{m}(b)T=2πrv=2π⋅7,61⋅1091,36⋅105=3,51⋅105 s=4,07 dıˊasT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 7{,}61\cdot 10^9}{1{,}36\cdot 10^5} = 3{,}51\cdot 10^{5}\ \text{s} = 4{,}07\ \text{días}(c) Con r1=1011 mr_1 = 10^{11}\,\text{m} y r2=1,1⋅1011 mr_2 = 1{,}1\cdot 10^{11}\,\text{m}:ΔEp=−GMm(1r2−1r1)=1,41⋅1020⋅250(11011−11,1⋅1011)=3,20⋅1010 J\Delta E_p = -GMm\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right) = 1{,}41\cdot 10^{20}\cdot 250\left(\frac{1}{10^{11}} - \frac{1}{1{,}1\cdot 10^{11}}\right) = 3{,}20\cdot 10^{10}\ \text{J}La energía potencial aumenta (se hace menos negativa): al alejarse de la estrella, la sonda está menos ligada a ella, y hay que aportar energía para subirla a la órbita más alta.
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Consejo

Con energías potenciales negativas, «aumentar» significa acercarse a cero. Escribe el signo de ΔEp\Delta E_p y explica qué significa físicamente.
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