FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Radiactividad y desintegración

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción A
Enunciado
a) Describa los procesos radiactivos alfa, beta y gamma.

b) Un derrame de 131Ba^{131}\text{Ba} tiene una actividad de 1,85⋅1016 Bq1{,}85\cdot10^{16}\,\text{Bq} y T1/2=7,97 dıˊasT_{1/2} = 7{,}97\,\text{días}. Determine la masa derramada y el tiempo para que la radiación baje a 1,85⋅1013 Bq1{,}85\cdot10^{13}\,\text{Bq}.

Datos: 1 u=1,67⋅10−27 kg1\,\text{u} = 1{,}67\cdot10^{-27}\,\text{kg}; m(131Ba)=130,906941 um(^{131}\text{Ba}) = 130{,}906941\,\text{u}.
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Resultado
  m≈4,0⋅10−3 kg (4,0 g);t≈79,4 dıˊas  \boxed{\;m \approx 4{,}0\cdot10^{-3}\ \text{kg}\ (4{,}0\ \text{g})\quad;\quad t \approx 79{,}4\ \text{días}\;}
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Estrategia

α\alpha: emisión de 24He^4_2\text{He} (Z−2Z-2, A−4A-4). β−\beta^-: un neutrón se convierte en protón, se emite un electrón (Z+1Z+1). γ\gamma: emisión de un fotón muy energético (el núcleo se desexcita, ZZ y AA no cambian). Para la masa: N=A0/λN = A_0/\lambda y m=N maˊtomom = N\,m_{\text{átomo}}. El tiempo se obtiene de la razón de actividades (A/A0=10−3A/A_0 = 10^{-3}).
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Desarrollo

a) Son procesos de desintegración espontánea de núcleos inestables, en los que se conservan el número másico y la carga (leyes de Soddy y Fajans):
  • Alfa (α\alpha): el núcleo emite una partícula α\alpha, un núcleo de helio 24He^4_2\text{He} (dos protones y dos neutrones). Es típica de núcleos pesados. El núcleo hijo tiene Z−2Z-2 y A−4A-4:
ZAX→ Z−2A−4Y+24He^{A}_{Z}\text{X} \to\ ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + {}^4_2\text{He}Las partículas α\alpha son muy ionizantes y poco penetrantes (las detiene una hoja de papel).
  • Beta (β−\beta^-): en el núcleo, un neutrón se transforma en un protón, un electrón (que se emite, partícula β\beta) y un antineutrino: 01n→11p+−1 0e+νˉ^1_0\text{n}\to{}^1_1\text{p} + {}^{\ 0}_{-1}\text{e} + \bar\nu. El núcleo hijo tiene Z+1Z+1 y el mismo AA:
ZAX→ Z+1AY+−1 0e+νˉ^{A}_{Z}\text{X} \to\ ^{A}_{Z+1}\text{Y} + {}^{\ 0}_{-1}\text{e} + \bar\nu(En la β+\beta^+, un protón pasa a neutrón emitiendo un positrón y un neutrino: Z−1Z-1.) Son más penetrantes que las α\alpha (las frena una lámina de aluminio de unos milímetros).
  • Gamma (γ\gamma): un núcleo en estado excitado (normalmente tras una emisión α\alpha o β\beta) pasa a un estado de menor energía emitiendo un fotón de alta energía (radiación electromagnética). No cambian ni ZZ ni AA:
ZAX∗→ ZAX+γ^{A}_{Z}\text{X}^* \to\ ^{A}_{Z}\text{X} + \gammaEs la radiación más penetrante (hacen falta espesores de plomo u hormigón) y la menos ionizante.

b) λ=ln⁡27,97⋅86400=1,01⋅10−6 s−1\lambda = \dfrac{\ln2}{7{,}97\cdot86400} = 1{,}01\cdot10^{-6}\,\text{s}^{-1}. Número de átomos y masa:N=A0λ=1,85⋅10161,01⋅10−6=1,84⋅1022⇒m=N maˊtomo=1,84⋅1022⋅2,19⋅10−25=4,0⋅10−3 kgN = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{1{,}85\cdot10^{16}}{1{,}01\cdot10^{-6}} = 1{,}84\cdot10^{22}\Rightarrow m = N\,m_{\text{átomo}} = 1{,}84\cdot10^{22}\cdot2{,}19\cdot10^{-25} = 4{,}0\cdot10^{-3}\ \text{kg}(con maˊtomo=130,906941⋅1,67⋅10−27=2,19⋅10−25 kgm_{\text{átomo}} = 130{,}906941\cdot1{,}67\cdot10^{-27} = 2{,}19\cdot10^{-25}\,\text{kg}).

Tiempo para bajar a 1,85⋅1013 Bq1{,}85\cdot10^{13}\,\text{Bq}: la actividad decae como A=A0 e−λtA = A_0\,e^{-\lambda t}, así quet=1λln⁡A0A=T1/2ln⁡2 ln⁡103=7,97⋅ln⁡1000ln⁡2=9,97⋅7,97=79,4 dıˊas (6,86⋅106 s)t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{A_0}{A} = \frac{T_{1/2}}{\ln2}\,\ln 10^{3} = \frac{7{,}97\cdot\ln1000}{\ln2} = 9{,}97\cdot 7{,}97 = 79{,}4\ \text{días}\ (6{,}86\cdot10^{6}\,\text{s})
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Consejo

Para hallar la masa a partir de la actividad, primero N=A/λN = A/\lambda y luego m=N⋅maˊtomom = N\cdot m_{\text{átomo}} (pasa el periodo a segundos). Para el tiempo, si la actividad baja 10001000 veces, son unas 1010 semividas (210≈10242^{10}\approx1024).
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