FísicaFácilProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción B
Enunciado
Una reciente investigación ha descubierto un planeta similar a la Tierra orbitando alrededor de la estrella Próxima Centauri, una enana roja cuya masa es un 12 % de la masa del Sol y su radio es el 14 % del radio solar. Mediante técnicas de desplazamiento Doppler se ha medido el periodo del planeta alrededor de la estrella obteniéndose un valor de 11,211{,}2 días. Determine:

a) La aceleración de la gravedad sobre la superficie de la estrella.

b) El radio de la órbita del planeta suponiendo ésta circular.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa del Sol, MS=1,99⋅1030 kgM_S = 1{,}99\cdot 10^{30}\ \text{kg}; Radio del Sol, RS=7⋅108 mR_S = 7\cdot 10^{8}\ \text{m}.
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Resultado
  a)  g0=1,66⋅103 m s−2  \boxed{\;\text{a)}\ \ g_0 = 1{,}66\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\;}  b)  r=7,23⋅109 m  \boxed{\;\text{b)}\ \ r = 7{,}23\cdot 10^{9}\ \text{m}\;}
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Estrategia

Primero sacamos la masa y el radio de la estrella a partir de los del Sol. La gravedad en su superficie es g0=GM/R2g_0 = GM/R^2.

Para la órbita, la atracción de la estrella es la fuerza centrípeta que mantiene al planeta girando; escrito con el periodo, eso es la tercera ley de Kepler, T2=4π2GM r3T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3, de la que se despeja el radio. La masa del planeta no hace falta: se simplifica.
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Desarrollo

Masa y radio de Próxima Centauri:M=0,12 MS=0,12⋅1,99⋅1030=2,39⋅1029 kgM = 0{,}12\,M_S = 0{,}12\cdot 1{,}99\cdot 10^{30} = 2{,}39\cdot 10^{29}\ \text{kg}R=0,14 RS=0,14⋅7⋅108=9,8⋅107 mR = 0{,}14\,R_S = 0{,}14\cdot 7\cdot 10^{8} = 9{,}8\cdot 10^{7}\ \text{m}a) Gravedad en la superficie de la estrella:g0=G MR2=6,67⋅10−11⋅2,39⋅1029(9,8⋅107)2=1,66⋅103 m s−2g_0 = \frac{G\,M}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}39\cdot 10^{29}}{(9{,}8\cdot 10^{7})^2} = 1{,}66\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}Unas 170 veces la de la Tierra (y unas 6 veces la del Sol, que es de unos 270 m s−2270\ \text{m}\,\text{s}^{-2}): la estrella es pequeña, pero muy compacta.

b) Periodo en el SI:T=11,2⋅24⋅3600=9,68⋅105 sT = 11{,}2\cdot 24\cdot 3600 = 9{,}68\cdot 10^{5}\ \text{s}En una órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, con v=2πr/Tv = 2\pi r/T:G M mr2=m 4π2T2 r⟹r3=G M T24π2\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}r=6,67⋅10−11⋅2,39⋅1029⋅(9,68⋅105)24π23=7,23⋅109 mr = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}39\cdot 10^{29}\cdot(9{,}68\cdot 10^{5})^2}{4\pi^2}} = 7{,}23\cdot 10^{9}\ \text{m}Es menos de la vigésima parte de la distancia Tierra-Sol (1,5⋅1011 m1{,}5\cdot 10^{11}\,\text{m}): el planeta está muy cerca de su estrella, como corresponde a un año de solo 11 días.
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Consejo

Lo que manda en la órbita es la masa de la estrella, no la del planeta: se cancela al igualar la fuerza gravitatoria con la centrípeta. Si en un problema de órbitas te falta la masa del satélite, no es un despiste del enunciado.

Pasa el periodo a segundos antes de meterlo en la tercera ley de Kepler, y comprueba el orden de magnitud del resultado con algo conocido (la órbita terrestre, por ejemplo).
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