FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción A
Enunciado
Un asteroide de forma esférica y radio 3 km3\,\text{km} tiene una densidad de 3 g cm−33\ \text{g}\,\text{cm}^{-3}. Determine:

a) La velocidad de escape desde la superficie de dicho asteroide.

b) La velocidad de un cuerpo a una altura de 1 km1\,\text{km} sobre la superficie del asteroide si partió de su superficie a la velocidad de escape.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  a)  M=3,39⋅1014 kgve=3,88 m s−1  \boxed{\;\text{a)}\ \ M = 3{,}39\cdot 10^{14}\ \text{kg}\qquad v_e = 3{,}88\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}  b)  v=3,36 m s−1  a 1 km de altura  \boxed{\;\text{b)}\ \ v = 3{,}36\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\ \ \text{a } 1\ \text{km de altura}\;}
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Estrategia

No nos dan la masa del asteroide, pero sí su tamaño y su densidad: como es una esfera, la masa es la densidad por el volumen. Con la masa, la velocidad de escape sale de exigir que la energía mecánica del cuerpo sea cero: la justa para llegar al infinito con velocidad nula.

En b) el cuerpo sigue teniendo energía mecánica nula (la gravedad es conservativa y no hay rozamiento), así que basta con escribir esa misma condición a 1 km1\,\text{km} de altura, es decir, a 4 km4\,\text{km} del centro. Un asteroide es tan pequeño que las velocidades salen de unos pocos metros por segundo: se escapa de él dando un buen salto.
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Desarrollo

a) Pasamos los datos al SI: R=3⋅103 mR = 3\cdot 10^{3}\,\text{m} y ρ=3 g cm−3=3⋅103 kg m−3\rho = 3\ \text{g}\,\text{cm}^{-3} = 3\cdot 10^{3}\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}.

La masa del asteroide es su densidad por el volumen de la esfera:M=ρ 43πR3=3⋅103⋅43π (3⋅103)3=3,39⋅1014 kgM = \rho\,\frac{4}{3}\pi R^3 = 3\cdot 10^{3}\cdot\frac{4}{3}\pi\,(3\cdot 10^{3})^3 = 3{,}39\cdot 10^{14}\ \text{kg}La velocidad de escape es la que deja al cuerpo con energía mecánica nula en la superficie:12m ve2−G M mR=0⟹ve=2 G MR\frac{1}{2}m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}ve=2⋅6,67⋅10−11⋅3,39⋅10143⋅103=15,1=3,88 m s−1v_e = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3{,}39\cdot 10^{14}}{3\cdot 10^{3}}} = \sqrt{15{,}1} = 3{,}88\ \text{m}\,\text{s}^{-1}(Sustituyendo la masa, también se puede escribir ve=R83πGρv_e = R\sqrt{\tfrac{8}{3}\pi G\rho}, que da lo mismo.)

b) A h=1 kmh = 1\,\text{km} de altura el cuerpo está a r=R+h=4⋅103 mr = R + h = 4\cdot 10^{3}\,\text{m} del centro. La energía mecánica se conserva y vale cero desde el principio:12m v2−G M mr=12m ve2−G M mR=0\frac{1}{2}m\,v^2 - \frac{G\,M\,m}{r} = \frac{1}{2}m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0v=2 G MR+h=2⋅6,67⋅10−11⋅3,39⋅10144⋅103=11,3=3,36 m s−1v = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R + h}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3{,}39\cdot 10^{14}}{4\cdot 10^{3}}} = \sqrt{11{,}3} = 3{,}36\ \text{m}\,\text{s}^{-1}El cuerpo ha frenado un poco, pero nunca llegará a pararse: su velocidad tiende a cero solo en el infinito. Fíjate en que v=veR/(R+h)=3,88⋅3/4v = v_e\sqrt{R/(R+h)} = 3{,}88\cdot\sqrt{3/4}: es la velocidad de escape desde esa altura.
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Consejo

Cuando no te dan la masa pero sí la densidad, la masa es ρ⋅43πR3\rho\cdot\tfrac{4}{3}\pi R^3. Antes de sustituir, pasa la densidad al SI: 1 g cm−3=1000 kg m−31\ \text{g}\,\text{cm}^{-3} = 1000\ \text{kg}\,\text{m}^{-3} (no 1000 veces menos). Equivocarse ahí cambia la masa en un factor 1000 y la velocidad, en 1000≈32\sqrt{1000}\approx 32.

«Partió con la velocidad de escape» es una forma de decir «su energía mecánica es cero». Con esa idea el apartado b) se resuelve en una línea.
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