Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Aplicamos la segunda ley de Newton al satélite de masa $m$: la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta del movimiento circular.$$\frac{G\,M\,m}{R^2} = m\,\frac{v^2}{R}$$Simplificamos $m$ y un factor $R$:$$v = \sqrt{\frac{G\,M}{R}}$$No depende de la masa del satélite, y es menor cuanto más lejos está la órbita.

b) El periodo es $T = 24{,}62\ \text{h} = 24{,}62\cdot 3600 = 8{,}86\cdot 10^{4}\ \text{s}$. Como en una vuelta recorre $2\pi R$, $v = 2\pi R/T$; lo llevamos a la ecuación anterior:$$\left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2 = \frac{G\,M}{R}\quad\Rightarrow\quad R^3 = \frac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}$$$$R = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}42\cdot 10^{23}\cdot\left(8{,}86\cdot 10^{4}\right)^2}{4\pi^2}} = 2{,}04\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Energía mecánica: la cinética es $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}$ y la potencial, $-\frac{GMm}{R}$, así que$$E_m = -\frac{G\,M\,m}{2R} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}42\cdot 10^{23}\cdot 21}{2\cdot 2{,}04\cdot 10^{7}} = -2{,}20\cdot 10^{7}\ \text{J}$$Negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta. Su velocidad es $v = \sqrt{GM/R} = 1{,}45\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$.

En la simulación, la órbita con el radio real de Marte ($3390\ \text{km}$, que el problema no necesita) y la altura que resulta: