Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Un cuerpo de masa $m$ sale de la superficie con velocidad $v_e$ y llega al infinito con velocidad nula. Igualamos la energía mecánica en los dos puntos, con el origen de energía potencial en el infinito:$$\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0 + 0$$La masa del cuerpo se simplifica y despejamos:$$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$$No depende de la masa del cuerpo que escapa, solo del planeta.

b) Sacamos el radio de Mercurio de la gravedad en su superficie:$$g_0 = \frac{G\,M}{R^2}\quad\Rightarrow\quad R = \sqrt{\frac{G\,M}{g_0}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3{,}30\cdot 10^{23}}{3{,}70}} = 2{,}44\cdot 10^{6}\ \text{m}$$Y lo llevamos a la expresión del apartado a):$$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3{,}30\cdot 10^{23}}{2{,}44\cdot 10^{6}}} = 4{,}25\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$Como $GM = g_0 R^2$, también vale $v_e = \sqrt{2\,g_0\,R} = \sqrt{2\cdot 3{,}70\cdot 2{,}44\cdot 10^{6}}$, que da lo mismo y es una buena comprobación.

En la simulación, un cuerpo lanzado desde la superficie de Mercurio a $4{,}25\ \text{km/s}$ se aleja sin volver (por poco menos, cae o queda en órbita cerrada):