FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2016 · Junio · Opción B
Enunciado
Ceres es un planeta enano, el mayor objeto del cinturón de asteroides, que tarda 4,604{,}60 años terrestres en completar una vuelta alrededor del Sol. El diámetro medio y la masa de Ceres son 952,4 km952{,}4\,\text{km} y 9,43⋅1020 kg9{,}43\cdot 10^{20}\,\text{kg}, respectivamente.

(a) Admitiendo que describe una órbita circular, calcular la distancia de Ceres al Sol.

(b) Calcular la aceleración de la gravedad y la velocidad de escape desde la superficie de Ceres, suponiendo que se trata de un cuerpo esférico homogéneo.

(c) Basándonos en datos conocidos de Ceres, calcular la masa del Sol en kg.

Datos: constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; distancia Tierra-Sol d=149,6⋅106 kmd = 149{,}6\cdot 10^{6}\,\text{km}; 1 an˜o=31 557 600 s1\ \text{año} = 31\,557\,600\,\text{s}.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  r=4,14⋅1011 mg0=0,277 m/s2ve=514 m/sMS=1,99⋅1030 kg  \boxed{\;r = 4{,}14\cdot 10^{11}\ \text{m}\qquad g_0 = 0{,}277\ \text{m/s}^2\qquad v_e = 514\ \text{m/s}\qquad M_S = 1{,}99\cdot 10^{30}\ \text{kg}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

(a) Tercera ley de Kepler comparando con la Tierra (mismo astro central): r3/T2r^3/T^2 es igual para los dos. (b) g0=GM/R2g_0 = GM/R^2 y ve=2GM/Rv_e = \sqrt{2GM/R} con R=476,2 kmR = 476{,}2\,\text{km}. (c) En la órbita de Ceres, la gravedad del Sol es la fuerza centrípeta: MS=4π2r3/(GT2)M_S = 4\pi^2 r^3/(GT^2).
2

Desarrollo

(a)r3T2=d3TT2⟹r=d(TTT)2/3=1,496⋅1011⋅4,602/3=4,14⋅1011 m\frac{r^3}{T^2} = \frac{d^3}{T_T^2} \quad\Longrightarrow\quad r = d\left(\frac{T}{T_T}\right)^{2/3} = 1{,}496\cdot 10^{11}\cdot 4{,}60^{2/3} = 4{,}14\cdot 10^{11}\ \text{m}(b) R=952,4/2=476,2 km=4,762⋅105 mR = 952{,}4/2 = 476{,}2\,\text{km} = 4{,}762\cdot 10^{5}\,\text{m}.g0=GMR2=6,67⋅10−11⋅9,43⋅1020(4,762⋅105)2=0,277 m/s2g_0 = \frac{GM}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 9{,}43\cdot 10^{20}}{(4{,}762\cdot 10^{5})^2} = 0{,}277\ \text{m/s}^2ve=2g0R=2⋅0,277⋅4,762⋅105=514 m/sv_e = \sqrt{2g_0R} = \sqrt{2\cdot 0{,}277\cdot 4{,}762\cdot 10^{5}} = 514\ \text{m/s}(c) T=4,60⋅31 557 600=1,452⋅108 sT = 4{,}60\cdot 31\,557\,600 = 1{,}452\cdot 10^{8}\,\text{s}.GMSmr2=m 4π2T2 r⟹MS=4π2r3GT2=4π2 (4,14⋅1011)36,67⋅10−11 (1,452⋅108)2=1,99⋅1030 kg\frac{GM_S m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Longrightarrow\quad M_S = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2} = \frac{4\pi^2\,(4{,}14\cdot 10^{11})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\,(1{,}452\cdot 10^{8})^2} = 1{,}99\cdot 10^{30}\ \text{kg}
3

Consejo

Con la tercera ley de Kepler en forma de cociente no necesitas la masa del Sol ni pasar los años a segundos: basta con que TT y TTT_T estén en la misma unidad.
Paso 1 de 3
¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.
¿Te atascas?Pregunta a otros estudiantes y profesores en la comunidad.
Sigue practicando
Satélites, órbitas y leyes de Kepler
El próximo 12 de agosto de 2026 tendrá lugar un eclipse total de Sol: la Luna se situará entre la Tierra y el Sol…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JulioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El 1 de abril de 2026 se lanzó la misión Artemis II, que transportaba a la nave Orion con cuatro astronautas para…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
Se ha situado un satélite de comunicaciones de masa 1500 kg1500\,\text{kg} en una órbita circular alrededor de la Tierra…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El satélite Hope, que está en órbita elíptica alrededor del planeta Marte, fue enviado por la agencia de los…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1
Apuntes y todos los problemas de Campo gravitatorio →