FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2015 · Junio · Opción A
Enunciado
La Agencia Espacial Europea lanzó el pasado 27 de marzo dos satélites del Sistema de Navegación Galileo. Dichos satélites, de masa 1,51{,}5 toneladas cada uno, orbitan ya a 22 322 km22\,322\,\text{km} sobre la superficie de la Tierra. Calcula:

a) El valor de la velocidad orbital y el periodo de cada satélite.

b) La energía que posee cada satélite en su órbita.

c) La variación de energía potencial que experimentaron al elevarlos desde la superficie de la Tierra hasta situarlos en dicha órbita.

Datos: 1 tonelada=1000 kg1\ \text{tonelada} = 1000\,\text{kg}; G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\,\text{kg}; RT=6370 kmR_T = 6370\,\text{km}.
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Resultado
  v=3,73 km/sT≈13,4 hE=−1,04⋅1010 JΔEp=7,31⋅1010 J  \boxed{\;v = 3{,}73\ \text{km/s}\qquad T \approx 13{,}4\ \text{h}\qquad E = -1{,}04\cdot 10^{10}\ \text{J}\qquad \Delta E_p = 7{,}31\cdot 10^{10}\ \text{J}\;}
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Estrategia

El radio de la órbita es r=RT+hr = R_T + h. En órbita circular, v=GM/rv = \sqrt{GM/r} y T=2πr/vT = 2\pi r/v. La energía mecánica en órbita es E=−GMm/(2r)E = -GMm/(2r) y la variación de energía potencial, ΔEp=GMm(1/RT−1/r)\Delta E_p = GMm\left(1/R_T - 1/r\right).
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Desarrollo

r=6370+22 322=28 692 km=2,869⋅107 mm=1500 kgr = 6370 + 22\,322 = 28\,692\ \text{km} = 2{,}869\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad m = 1500\ \text{kg}a)v=GMr=6,67⋅10−11⋅5,98⋅10242,869⋅107=3,73⋅103 m/sv = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{2{,}869\cdot 10^{7}}} = 3{,}73\cdot 10^{3}\ \text{m/s}T=2πrv=2π⋅2,869⋅1073,73⋅103=4,84⋅104 s≈13,4 hT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 2{,}869\cdot 10^{7}}{3{,}73\cdot 10^{3}} = 4{,}84\cdot 10^{4}\ \text{s}\approx 13{,}4\ \text{h}b) Energía mecánica (cinética más potencial) en la órbita:E=−GMm2r=−6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅15002⋅2,869⋅107=−1,04⋅1010 JE = -\frac{GMm}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 1500}{2\cdot 2{,}869\cdot 10^{7}} = -1{,}04\cdot 10^{10}\ \text{J}c)ΔEp=−GMmr−(−GMmRT)=GMm(1RT−1r)\Delta E_p = -\frac{GMm}{r} - \left(-\frac{GMm}{R_T}\right) = GMm\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r}\right)ΔEp=3,99⋅1014⋅1500(16,37⋅106−12,869⋅107)=7,31⋅1010 J\Delta E_p = 3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 1500\left(\frac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}} - \frac{1}{2{,}869\cdot 10^{7}}\right) = 7{,}31\cdot 10^{10}\ \text{J}Es positiva: la energía potencial aumenta al alejar el satélite de la Tierra.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

La altura se mide desde la superficie: en todas las fórmulas hay que usar la distancia al centro, r=RT+hr = R_T + h.
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