FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2015 · Septiembre · Opción B
Enunciado
Un satélite artificial de 820 kg820\,\text{kg} gira alrededor de un planeta describiendo una órbita geoestacionaria (es decir, se mantiene siempre en la vertical del mismo punto del ecuador), de modo que da una vuelta completa cada 24 horas. La masa y el radio del planeta son 5,98⋅1024 kg5{,}98\cdot 10^{24}\,\text{kg} y 6370 km6370\,\text{km}, respectivamente.

a) Calcular a qué altura sobre la superficie del planeta se encuentra este satélite.

b) Calcular la velocidad del satélite en su órbita.

c) Determinar la energía mecánica del satélite y su energía potencial.

Constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  h≈3,59⋅107 mv=3,07 km/sE=−3,87⋅109 JEp=−7,74⋅109 J  \boxed{\;h \approx 3{,}59\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad v = 3{,}07\ \text{km/s}\qquad E = -3{,}87\cdot 10^{9}\ \text{J}\qquad E_p = -7{,}74\cdot 10^{9}\ \text{J}\;}
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Estrategia

Con T=86 400 sT = 86\,400\,\text{s}, la tercera ley de Kepler (GMm/r2=m 4π2r/T2GMm/r^2 = m\,4\pi^2r/T^2) da el radio. Luego v=2πr/Tv = 2\pi r/T, Ep=−GMm/rE_p = -GMm/r y E=−GMm/(2r)E = -GMm/(2r).
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Desarrollo

a)r=GMT24π23=6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅86 40024π23=4,23⋅107 mr = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 86\,400^2}{4\pi^2}} = 4{,}23\cdot 10^{7}\ \text{m}h=r−R=4,23⋅107−6,37⋅106=3,59⋅107 m≈35 900 kmh = r - R = 4{,}23\cdot 10^{7} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 3{,}59\cdot 10^{7}\ \text{m}\approx 35\,900\ \text{km}b)v=2πrT=2π⋅4,23⋅10786 400=3,07⋅103 m/sv = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 4{,}23\cdot 10^{7}}{86\,400} = 3{,}07\cdot 10^{3}\ \text{m/s}c)Ep=−GMmr=−6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅8204,23⋅107=−7,74⋅109 JE_p = -\frac{GMm}{r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 820}{4{,}23\cdot 10^{7}} = -7{,}74\cdot 10^{9}\ \text{J}E=Ec+Ep=−GMm2r=Ep2=−3,87⋅109 JE = E_c + E_p = -\frac{GMm}{2r} = \frac{E_p}{2} = -3{,}87\cdot 10^{9}\ \text{J}
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3

Consejo

En una órbita circular E=Ep/2=−EcE = E_p/2 = -E_c: con una de las tres tienes las otras dos.
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