FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2014 · Junio · Opción A
Enunciado
Un planeta gigante tiene dos satélites, S1 y S2, cuyos periodos orbitales son T1=4,52T_1 = 4{,}52 días terrestres y T2=15,9T_2 = 15{,}9 días terrestres, respectivamente.

a) Si el radio de la órbita del satélite S1 es de 5,27⋅108 m5{,}27\cdot 10^{8}\,\text{m}, calcular la masa del planeta.

b) Calcular el radio de la órbita del satélite S2 en km.

c) Si un meteorito inicia un movimiento de caída libre sin velocidad inicial hacia el planeta desde la órbita de S2, ¿cuál será su velocidad cuando pase por la órbita de S1?

Constante de gravitación 6,67⋅10−11 N m2 kg−26{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  M=5,68⋅1026 kgr2=1,22⋅106 kmv=9,0 km/s  \boxed{\;M = 5{,}68\cdot 10^{26}\ \text{kg}\qquad r_2 = 1{,}22\cdot 10^{6}\ \text{km}\qquad v = 9{,}0\ \text{km/s}\;}
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Estrategia

(a) La gravedad es la fuerza centrípeta de S1: M=4π2r13/(GT12)M = 4\pi^2r_1^3/(GT_1^2). (b) Tercera ley de Kepler entre los dos satélites. (c) Conservación de la energía mecánica del meteorito entre r2r_2 (en reposo) y r1r_1.
2

Desarrollo

a) T1=4,52⋅86 400=3,905⋅105 sT_1 = 4{,}52\cdot 86\,400 = 3{,}905\cdot 10^{5}\,\text{s}.GMmr12=m 4π2T12 r1⟹M=4π2r13GT12=4π2 (5,27⋅108)36,67⋅10−11 (3,905⋅105)2=5,68⋅1026 kg\frac{GMm}{r_1^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T_1^2}\,r_1 \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{4\pi^2r_1^3}{GT_1^2} = \frac{4\pi^2\,(5{,}27\cdot 10^{8})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\,(3{,}905\cdot 10^{5})^2} = 5{,}68\cdot 10^{26}\ \text{kg}b)r23T22=r13T12⟹r2=r1(T2T1)2/3=5,27⋅108(15,94,52)2/3=1,22⋅109 m=1,22⋅106 km\frac{r_2^3}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{T_1^2} \quad\Longrightarrow\quad r_2 = r_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2/3} = 5{,}27\cdot 10^{8}\left(\frac{15{,}9}{4{,}52}\right)^{2/3} = 1{,}22\cdot 10^{9}\ \text{m} = 1{,}22\cdot 10^{6}\ \text{km}c) Conservación de la energía (la masa del meteorito se cancela):0−GMr2=12v2−GMr1⟹v=2GM(1r1−1r2)0 - \frac{GM}{r_2} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM}{r_1} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)}v=2⋅6,67⋅10−11⋅5,68⋅1026(15,27⋅108−11,22⋅109)=9,03⋅103 m/sv = \sqrt{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}68\cdot 10^{26}\left(\frac{1}{5{,}27\cdot 10^{8}} - \frac{1}{1{,}22\cdot 10^{9}}\right)} = 9{,}03\cdot 10^{3}\ \text{m/s}
3

Consejo

Los datos corresponden a Saturno y a sus lunas Rea y Titán: un buen control es que la masa salga cercana a 5,7⋅1026 kg5{,}7\cdot 10^{26}\,\text{kg}.
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