FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2014 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Un satélite de masa

1{,}08\cdot 10^{20}\,\text{kg}

describe una órbita circular alrededor de un planeta gigante de masa

5{,}69\cdot 10^{26}\,\text{kg}

. El periodo orbital del satélite es de 32 horas y 53 minutos.

a) Si la velocidad de escape desde la superficie del satélite es

239\,\text{m/s}

, calcular su radio en km.

b) Calcular hasta qué altura sobre la superficie del satélite subirá un objeto lanzado verticalmente a

50\,\text{m/s}

.

c) Calcular en km/s la velocidad del satélite en su órbita alrededor del planeta gigante.

Constante de gravitación

6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;R = 252\ \text{km}\qquad h \approx 11{,}5\ \text{km}\qquad v = 12{,}6\ \text{km/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

(a)

v_e = \sqrt{2Gm/R}

se despeja para

R

. (b) Conservación de la energía entre la superficie y el punto más alto (la gravedad del satélite no es uniforme, pero se puede comprobar con

v^2/2g

). (c) Tercera ley de Kepler para el radio orbital y

v = 2\pi r/T

a) Con

m_s = 1{,}08\cdot 10^{20}\,\text{kg}

v_e = \sqrt{\frac{2Gm_s}{R}} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{2Gm_s}{v_e^2} = \frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}08\cdot 10^{20}}{239^2} = 2{,}52\cdot 10^{5}\ \text{m} = 252\ \text{km}

\frac{1}{2}v_0^2 - \frac{Gm_s}{R} = -\frac{Gm_s}{R + h} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{R + h} = \frac{1}{R} - \frac{v_0^2}{2Gm_s}

\frac{1}{R + h} = \frac{1}{2{,}522\cdot 10^{5}} - \frac{50^2}{2\cdot 7{,}20\cdot 10^{9}} = 3{,}791\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad R + h = 2{,}638\cdot 10^{5}\ \text{m}

h \approx 1{,}15\cdot 10^{4}\ \text{m} = 11{,}5\ \text{km}

(Con

g

constante,

g_0 = Gm_s/R^2 = 0{,}113\,\text{m/s}^2

h \approx v_0^2/2g_0 = 11{,}0\,\text{km}

; la diferencia se debe a que

g

disminuye al subir.)

c)

T = 32\cdot 3600 + 53\cdot 60 = 118\,380\,\text{s}

r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}69\cdot 10^{26}\cdot 118\,380^2}{4\pi^2}} = 2{,}38\cdot 10^{8}\ \text{m}

v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 2{,}38\cdot 10^{8}}{118\,380} = 1{,}26\cdot 10^{4}\ \text{m/s} = 12{,}6\ \text{km/s}

Distingue bien las dos masas: la del satélite manda en su superficie (apartados a y b) y la del planeta en la órbita (apartado c).

Paso 1 de 3

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1500\,\text{kg}