FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2013 · Reserva 1 · Opción B
Enunciado
Un satélite de 500 kg500\,\text{kg} describe una órbita circular a 350 km350\,\text{km} por encima de la superficie de la Tierra.

a) Calcular su velocidad y el periodo de revolución.

b) Determinar la energía necesaria para colocar el satélite en esa órbita.

c) ¿Qué velocidad tendría en el momento de chocar contra el suelo un objeto en caída libre que estuviese inicialmente a la misma altura que el satélite? (Se desprecian las fuerzas de rozamiento en el seno de la atmósfera.)

Datos: masa de la Tierra 5,98⋅1024 kg5{,}98\cdot 10^{24}\,\text{kg}; radio de la Tierra 6370 km6370\,\text{km}; G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2.
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Resultado
  v=7,70 km/sT≈91 minE=1,65⋅1010 Jvsuelo=2,55 km/s  \boxed{\;v = 7{,}70\ \text{km/s}\qquad T \approx 91\ \text{min}\qquad E = 1{,}65\cdot 10^{10}\ \text{J}\qquad v_{\text{suelo}} = 2{,}55\ \text{km/s}\;}
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1

Estrategia

r=R+hr = R + h. (a) v=GM/rv = \sqrt{GM/r}, T=2πr/vT = 2\pi r/v. (b) Energía para pasar del reposo en la superficie a la órbita: Eoˊrbita−Ep,superficieE_{\text{órbita}} - E_{p,\text{superficie}} (despreciando la rotación terrestre). (c) Conservación de la energía desde el reposo en rr hasta RR.
2

Desarrollo

r=6370+350=6720 km=6,72⋅106 mGM=3,99⋅1014 m3/s2r = 6370 + 350 = 6720\ \text{km} = 6{,}72\cdot 10^{6}\ \text{m}\qquad GM = 3{,}99\cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2a)v=GMr=3,99⋅10146,72⋅106=7,70⋅103 m/sv = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{6{,}72\cdot 10^{6}}} = 7{,}70\cdot 10^{3}\ \text{m/s}T=2πrv=2π⋅6,72⋅1067,70⋅103=5,48⋅103 s≈91 minT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 6{,}72\cdot 10^{6}}{7{,}70\cdot 10^{3}} = 5{,}48\cdot 10^{3}\ \text{s}\approx 91\ \text{min}b)E=Eoˊrbita−Ep(R)=−GMm2r+GMmR=GMm(1R−12r)E = E_{\text{órbita}} - E_{p}(R) = -\frac{GMm}{2r} + \frac{GMm}{R} = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{2r}\right)E=3,99⋅1014⋅500(16,37⋅106−11,344⋅107)=1,65⋅1010 JE = 3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 500\left(\frac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}} - \frac{1}{1{,}344\cdot 10^{7}}\right) = 1{,}65\cdot 10^{10}\ \text{J}c) Parte del reposo en rr y llega a RR:−GMr=12v2−GMR⟹v=2GM(1R−1r)=2,55⋅103 m/s-\frac{GM}{r} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM}{R} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{r}\right)} = 2{,}55\cdot 10^{3}\ \text{m/s}(Con gg constante se obtendría 2gh=2,62⋅103 m/s\sqrt{2gh} = 2{,}62\cdot 10^{3}\,\text{m/s}; la diferencia se debe a que gg disminuye con la altura.)
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3

Consejo

Para poner en órbita hay que subir el satélite y darle la velocidad orbital: por eso la energía es GMm(1/R−1/2r)GMm(1/R - 1/2r) y no solo el aumento de energía potencial.
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