FísicaFácilCuestión · 1 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2013 · Septiembre · Opción A
Enunciado
Un planeta gigante tiene dos pequeños satélites que describen órbitas circulares de 2⋅105 km2\cdot 10^{5}\,\text{km} y 1,6⋅106 km1{,}6\cdot 10^{6}\,\text{km} de radio, respectivamente. El satélite más cercano tarda 2 días en completar una órbita. Calcular el periodo orbital del satélite más lejano, justificando la respuesta.
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Resultado
  T2≈45,3 dıˊas  \boxed{\;T_2 \approx 45{,}3\ \text{días}\;}
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Estrategia

Tercera ley de Kepler para dos satélites del mismo planeta: T2∝r3T^2 \propto r^3.
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Desarrollo

Justificación: la gravedad es la fuerza centrípeta, GMm/r2=m 4π2r/T2GMm/r^2 = m\,4\pi^2r/T^2, así que T2=(4π2/GM) r3T^2 = (4\pi^2/GM)\,r^3, con la misma constante para los dos satélites.r2r1=1,6⋅1062⋅105=8\frac{r_2}{r_1} = \frac{1{,}6\cdot 10^{6}}{2\cdot 10^{5}} = 8T2=T1(r2r1)3/2=2⋅83/2=2⋅22,6=45,3 dıˊasT_2 = T_1\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2} = 2\cdot 8^{3/2} = 2\cdot 22{,}6 = 45{,}3\ \text{días}
3

Consejo

83/2=(8)3=1628^{3/2} = (\sqrt 8)^3 = 16\sqrt 2: con radios en proporción sencilla, calcula a mano.
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