pH de ácidos y bases

a) Constante de disociación

Llamamos HA al ácido. Del pH:$$[\text{H}_3\text{O}^+] = 10^{-\text{pH}} = 10^{-1{,}52} = 3{,}02\cdot 10^{-2}\ \text{mol/L}$$Tabla de equilibrio (en mol/L):$$\text{HA}(aq) + \text{H}_2\text{O}(l) \rightleftharpoons \text{A}^-(aq) + \text{H}_3\text{O}^+(aq)$$Despreciamos los $\text{H}_3\text{O}^+$ del agua (su aportación es del orden de $10^{-7}$ M), así que $x = 3{,}02\cdot 10^{-2}$ M:$$K_a = \frac{[\text{A}^-][\text{H}_3\text{O}^+]}{[\text{HA}]} = \frac{x^2}{0{,}1 - x} = \frac{(3{,}02\cdot 10^{-2})^2}{0{,}1 - 0{,}0302} = \frac{9{,}12\cdot 10^{-4}}{0{,}0698}$$$$K_a = 1{,}31\cdot 10^{-2}$$Aquí no se puede despreciar $x$ frente a $0{,}1$: el grado de disociación es $\alpha = x/c = 0{,}0302/0{,}1 = 0{,}30$, un 30 %. Es un ácido débil, pero no muy débil.

b) Concentración para que el pH sea 2

Ahora $[\text{H}_3\text{O}^+] = x = 10^{-2} = 0{,}010$ M, y la incógnita es la concentración inicial $c$. Con la misma tabla:$$K_a = \frac{x^2}{c - x} \;\Rightarrow\; c - x = \frac{x^2}{K_a} \;\Rightarrow\; c = x + \frac{x^2}{K_a}$$$$c = 0{,}010 + \frac{(0{,}010)^2}{1{,}31\cdot 10^{-2}} = 0{,}010 + 0{,}00765 = 0{,}0177\ \text{mol/L}$$Tiene sentido: para que haya menos $\text{H}_3\text{O}^+$ (pH más alto) la disolución debe estar más diluida que la de partida. Su grado de disociación es mayor, $\alpha = 0{,}010/0{,}0177 = 0{,}57$, como corresponde a una disolución más diluida.