FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Castilla-La Mancha · 2024 · Julio

Enunciado

Como por su propia naturaleza son invisibles, los agujeros negros tienen que ser detectados de manera indirecta. El primero en serlo fue Cygnus X-1, un objeto invisible en torno al cual se veía girar una estrella de 30 veces la masa del Sol con un periodo de 5,6 días. La masa que se deduce para el agujero negro es de 7 veces la del Sol.

a) Deduce la tercera ley de Kepler y aplícala para determinar el radio de la órbita de la estrella en torno al agujero negro, expresado en unidades astronómicas (UA).

b) Supongamos que el radio del agujero negro es justo el necesario para que la velocidad de escape en su superficie sea la de la luz. Deduce la expresión de la velocidad de escape y determina el radio del agujero negro, en km.

c) Si colocamos un cuerpo en reposo a

1000\,\text{km}

del centro del agujero negro y lo dejamos caer, ¿qué velocidad llevará (en km/s) cuando haya reducido esa distancia a la cuarta parte?

Datos:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

M_{\text{Sol}} = 2\cdot 10^{30}\,\text{kg}

;

1\,\text{UA} = 1{,}5\cdot 10^{11}\,\text{m}

;

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m/s}

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Resultado

\boxed{\;r = 1{,}77\cdot 10^{10}\ \text{m} = 0{,}118\ \text{UA}\qquad R = 20{,}8\ \text{km}\qquad v = 7{,}49\cdot 10^{4}\ \text{km/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), la gravedad del agujero negro hace de fuerza centrípeta sobre la estrella; con

v = 2\pi r/T

sale la tercera ley de Kepler,

T^2 = 4\pi^2 r^3/(GM)

, donde

M

es la masa del cuerpo central (el agujero negro, como indica el enunciado).

En b), la velocidad de escape iguala la energía cinética al valor absoluto de la potencial; poniéndola igual a

c

se despeja el radio (el «radio de Schwarzschild», aunque aquí se obtiene con física newtoniana).

En c), conservación de la energía mecánica en la caída.

Desarrollo

M = 7 M_{\text{Sol}} = 1{,}4\cdot 10^{31}\,\text{kg}

;

GM = 9{,}34\cdot 10^{20}\,\text{m}^3\,\text{s}^{-2}

;

T = 5{,}6\cdot 86\,400 = 4{,}84\cdot 10^{5}\,\text{s}

.

a) Gravedad = fuerza centrípeta, con

v = 2\pi r/T

\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G M}\,r^3

r = \sqrt[3]{\frac{G M\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{9{,}34\cdot 10^{20}\cdot (4{,}84\cdot 10^{5})^2}{4\pi^2}} = 1{,}77\cdot 10^{10}\ \text{m} = \frac{1{,}77\cdot 10^{10}}{1{,}5\cdot 10^{11}} = 0{,}118\ \text{UA}

(Se trata el agujero negro como fijo, como pide el enunciado. En realidad la estrella es más pesada que el agujero negro y los dos giran en torno al centro de masas, pero eso queda fuera del nivel del examen.)

b) Velocidad de escape desde la superficie de radio

R

\frac12 m v_e^2 - \frac{G M m}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

Imponiendo

v_e = c

R = \frac{2 G M}{c^2} = \frac{2\cdot 9{,}34\cdot 10^{20}}{(3\cdot 10^{8})^2} = 2{,}08\cdot 10^{4}\ \text{m} = 20{,}8\ \text{km}

c) Conservación de la energía, de

r_0 = 10^{6}\,\text{m}

(reposo) a

r = r_0/4 = 2{,}5\cdot 10^{5}\,\text{m}

-\frac{G M m}{r_0} = \frac12 m v^2 - \frac{G M m}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2 G M\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right)} = \sqrt{2\cdot 9{,}34\cdot 10^{20}\cdot 3\cdot 10^{-6}}

v = 7{,}49\cdot 10^{7}\ \text{m/s} = 7{,}49\cdot 10^{4}\ \text{km/s}

Es una cuarta parte de la velocidad de la luz: a esas velocidades habría que usar ya la relatividad, pero el enunciado pide el cálculo newtoniano.

Consejo

En la tercera ley de Kepler la masa es la del cuerpo central (el agujero negro), no la de la estrella que gira: la masa de la estrella se cancela. Pasa los días a segundos antes de sustituir.

Paso 1 de 3

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