Vectores en el espacio: ángulos, áreas y volúmenes con puntos

Producto escalar y ángulo · producto vectorial, área del triángulo y del paralelogramo · producto mixto, volumen del tetraedro y coplanariedad · cuarto vértice · 2º de Bachillerato

A B C D AB × AC Arrastrar: girar · rueda: zoom · botón derecho: desplazar

Vectores y distancias

Producto escalar y ángulo

Producto vectorial y áreas

Producto mixto, volumen y coplanariedad

Cuarto vértice del paralelogramo

Buscar el valor del parámetro

—

Ejemplos de la PAU

Puntos (se admite el parámetro a)

xyz

Mostrar D y el tetraedro Mostrar el paralelogramo ABCD′

Parámetro a

Escribe a en cualquier coordenada (por ejemplo 3a-1) y muévelo para ver cómo cambian el área y el volumen.

Buscador del parámetro

Cómo explorar

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial, y el volumen del tetraedro, un sexto del valor absoluto del producto mixto.
Mueve D hasta que el producto mixto se anule: los cuatro puntos quedan en un mismo plano y el tetraedro se aplasta.
El buscador resuelve ecuaciones como «área = 3» o «volumen = 20»: fíjate en que casi siempre salen dos valores de a, porque hay un valor absoluto de por medio.
El cuarto vértice del paralelogramo con A, B y C consecutivos es D′ = A − B + C; comprueba que las diagonales AC y BD′ tienen el mismo punto medio.