Integral definida, área entre curvas y primitivas

∫ₐᵇ f(x) dx como área con signo · recinto limitado por dos curvas · sumas de Riemann · la familia F(x) + C y la primitiva que pasa por un punto · 2º de Bachillerato

f(x) g(x) f por encima (+) f por debajo (−) Arrastra los tiradores a y b · rueda: zoom · arrastrar: mover

Integral y área en [a, b]

∫ₐᵇ (f − g) dx (con signo): —
Área del recinto = ∫ₐᵇ |f − g| dx: —
Suma de Riemann con n rectángulos: —

Cuando f está por debajo de g la integral es negativa: para el área se cambia el signo en esos tramos.

Puntos de corte y tramos

Funciones

f(x) =

g(x) = (vacío: el eje X)

+ − * / ^, sen, cos, tg, exp, ln, sqrt, |x|, e, pi. A trozos: si(x<=0, x*sen(2x), cos(pi*x)−1).

Ejemplos de la PAU

Límite a

Límite b

Ventana x desde

hasta

Sumas de Riemann

Dibujar los rectángulos

Número de rectángulos n =

Altura tomada en

Al aumentar n la suma se acerca al valor de la integral: esa es la definición de ∫ₐᵇ f(x) dx.

Cómo explorar

Escribe g(x) para ver el recinto limitado por dos curvas: los cortes de f y g aparecen en la lista; con el botón se toman como límites.
La integral cambia de signo en cada corte; el área nunca: se integra |f − g| tramo a tramo.
Para ∫ₐᵇ f(x) dx = k (con parámetro), prueba valores hasta que la integral valga k.

f(x) (la función a integrar) F(x): primitiva que pasa por (x₁, y₁) otras primitivas F(x) + C Arrastra el punto (x₁, y₁) o el punto de prueba x₂

La primitiva que pasa por (x₁, y₁)

Condición F(x₁) = y₁: —
Desplazamiento entre primitivas vecinas: una constante C
Área con signo ∫ₓ₁ˣ² f(t) dt: —
F(x₂) = y₁ + ∫ₓ₁ˣ² f(t) dt: —

Todas las primitivas de f difieren en una constante: la condición «pasa por (x₁, y₁)» fija cuál es.

Comprobación: la pendiente de F es f(x₂)

Pendiente de F en x₂ (F′(x₂)): —
Valor de f(x₂): —

La tangente a F en x₂ tiene pendiente f(x₂): donde f es positiva F crece; donde f se anula, F tiene un extremo.

Función y punto