Campo gravitatorio

a) El campo creado por una masa puntual apunta hacia ella y vale $g = Gm/r^2$. En el origen:

• La masa $m$, situada en $A(d,0)$, crea un campo dirigido hacia $+X$ (hacia $A$), de módulo $\dfrac{G m}{d^2}$.
• La masa $2m$, situada en $B(-d,0)$, crea un campo dirigido hacia $-X$ (hacia $B$), de módulo $\dfrac{G\,2m}{d^2}$.

Ambos son antiparalelos, luego se restan:

En la representación gráfica, el vector resultante sale del origen apuntando hacia $-X$, es decir, hacia la masa mayor $2m$, como cabía esperar: a igual distancia gana la masa más grande. Su módulo es el que crearía una sola masa $m$ a la distancia $d$.

b) i) Situamos la base sobre el eje $OX$, con los vértices en $(0,0)$ y $(6,0)$. El tercer vértice está en $(3,\ 3\sqrt{3}) = (3;\ 5{,}20)\,\text{m}$.

Al ser el triángulo equilátero, la distancia de cada masa al tercer vértice es el lado:

Módulo del campo creado por cada masa:

En el esquema, los dos vectores salen del vértice superior apuntando hacia abajo, hacia cada masa de la base, formando $30^\circ$ con la vertical (y $60^\circ$ con la horizontal). Por simetría, las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman:

Apunta verticalmente hacia abajo, hacia el punto medio de la base.

b) ii) El potencial es escalar y las dos masas están a la misma distancia:

b) iii) Con la referencia $V_\infty = 0$, el trabajo que realiza el campo al traer una masa $m' = 1\,\text{kg}$ desde el infinito hasta ese punto es

Justificación del signo. Es positivo, y necesariamente tiene que serlo: la gravedad es siempre atractiva, así que al traer una masa desde el infinito el campo tira de ella a favor del movimiento y realiza trabajo positivo. Su energía potencial disminuye (pasa de $0$ a un valor negativo) y el proceso es espontáneo: no hace falta ningún agente externo, más bien habría que frenarla.

a) Líneas de campo. Cerca de cada masa las líneas son radiales y entran en ella (la gravedad es atractiva). Lejos de las dos masas el conjunto se comporta como una sola masa $2m$ y las líneas llegan desde el infinito casi radialmente hacia el centro del sistema. Entre las masas, las líneas se curvan hacia una u otra; ninguna línea va de una masa a la otra, y en el punto medio del segmento hay un punto donde no llega ninguna línea (punto neutro). El dibujo es simétrico respecto de la recta que une las masas y de la mediatriz del segmento.

Campo. Cada masa crea un campo $g = Gm/r^2$ dirigido hacia ella. Solo puede anularse en un punto donde los dos vectores tengan la misma dirección, sentidos opuestos e igual módulo: eso exige estar sobre el segmento que une las masas (fuera de él los dos campos apuntan en el mismo sentido o no son colineales) y a igual distancia de ambas, porque las masas son iguales. Por tanto sí: el campo se anula en el punto medio del segmento, y solo ahí.

Potencial. El potencial es un escalar y cada masa aporta un término negativo:

Una suma de dos términos negativos no puede ser cero, así que el potencial no se anula en ningún punto a distancia finita (solo tiende a cero en el infinito). En el punto medio, donde $\vec g = 0$, vale $V = -2Gm/(d/2) = -4Gm/d \ne 0$: que el campo sea nulo no implica que lo sea el potencial.

b.i) Distancia de $P$ a cada masa: $r = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} = 4{,}24\,\text{m}$. Campo de cada una:

Por simetría, las componentes horizontales se anulan; las verticales se suman:

En forma vectorial, $\vec g = -2{,}62\cdot10^{-10}\,\vec j\ \text{N kg}^{-1}$: apunta desde $P$ hacia el punto medio $(3,0)$ del segmento $AB$.

b.ii) La fuerza sobre la masa de $2\,\text{kg}$ es

de módulo $F = 5{,}24\cdot10^{-10}\,\text{N}$, con la misma dirección y sentido que el campo.

a) Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza al desplazar una partícula entre dos puntos $A$ y $B$ depende solo de esos puntos y no de la trayectoria seguida; equivalentemente, su trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo:

Por ello se puede asociar a cada posición una función escalar, la energía potencial $E_p$, definida de modo que el trabajo de la fuerza conservativa es igual a menos la variación de dicha energía:

Solo se definen diferencias de $E_p$, así que hay que elegir un origen (en gravitación, $E_p = 0$ en el infinito, con lo que $E_p = -GMm/r$). Si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica $E_c + E_p$ se conserva.

• Ejemplo de fuerza conservativa: el peso o la fuerza gravitatoria (también la elástica o la electrostática).
• Ejemplo de fuerza no conservativa: el rozamiento: su trabajo es siempre negativo y depende de la longitud del camino recorrido (en una trayectoria cerrada no es nulo), por lo que no admite energía potencial y disipa energía mecánica.

b) Potenciales:

• En $O(0,0)$: $r_1=2$, $r_2=3$ → $V_O = -G\left(\dfrac2{2}+\dfrac3{3}\right) = -2G = -1{,}33\cdot10^{-10}\ \text{J kg}^{-1}$
• En $P(1,0)$: $r_1=\sqrt5=2{,}24$, $r_2=\sqrt{10}=3{,}16$ → $V_P = -G\left(\dfrac2{2{,}24}+\dfrac3{3{,}16}\right) = -1{,}84G = -1{,}23\cdot10^{-10}\ \text{J kg}^{-1}$

El trabajo que hay que realizar (con un agente externo, sin variar la energía cinética) es igual al aumento de energía potencial de $m_3$:

El trabajo realizado por el campo gravitatorio es el opuesto, $W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = -1{,}05\cdot10^{-11}\,\text{J}$.

a) i) El potencial gravitatorio creado por una masa puntual $M$ a una distancia $r$, tomando como referencia $V_\infty = 0$, es

donde:

• $V$: potencial gravitatorio, en $\text{J}\,\text{kg}^{-1}$ (energía potencial por unidad de masa).
• $G$: constante de gravitación universal, $6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.
• $M$: masa que crea el campo, en kilogramos (kg).
• $r$: distancia desde la masa al punto considerado, en metros (m).

Es siempre negativo, porque la gravedad es solo atractiva y hay que aportar energía para llevar una masa hasta el infinito.

a) ii) Es positivo. Si la masa $m$ parte del reposo y se mueve por acción del propio campo, la fuerza gravitatoria tiene el mismo sentido que el desplazamiento (la atrae hacia $M$), luego

Se ve también con energías: al acercarse a $M$, la distancia $r$ disminuye y $E_p = -GMm/r$ se hace más negativa, es decir, $\Delta E_p < 0$. Y como $W = -\Delta E_p$, resulta $W > 0$. Esa energía potencial perdida aparece como energía cinética: la masa se acelera.

b) i) Sea $x$ la distancia desde el centro de la Tierra al punto buscado; la distancia a la Luna será $d - x$, con $d = 3{,}84\cdot 10^{8}\,\text{m}$. La fuerza total sobre la nave es nula cuando ambas atracciones se igualan:

Con $M_T = 81\,M_L$ la masa de la nave y $G$ se cancelan:

El punto está a $345\,600\,\text{km}$ del centro de la Tierra y, por tanto, a $d - x = 3{,}84\cdot 10^{7}\,\text{m} = 38\,400\,\text{km}$ del centro de la Luna: mucho más cerca de la Luna, como corresponde a su menor masa.

b) ii) Necesitamos la masa de la Luna:

La energía potencial es escalar y se suman las dos contribuciones, ambas negativas:

Obsérvese que, aunque la fuerza se anula en ese punto, la energía potencial no: sigue siendo muy negativa, porque la nave está ligada a ambos cuerpos.

a) i) La gravedad en la superficie de un astro es $g = \dfrac{G M}{R^2}$. Comparando:

La gravedad en el planeta es el triple que en la Tierra (unos $29{,}4\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$).

a) ii) La velocidad de escape es $v_e = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$. Comparando:

También el triple (unos $33{,}6\,\text{km}\,\text{s}^{-1}$). Obsérvese que la coincidencia numérica es casual: en un caso el radio entra al cuadrado y en el otro, bajo raíz.

b) i) Si da $12$ vueltas al día, el periodo es

Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta, con $v = 2\pi r/T$:

(unos $1690\,\text{km}$ de altura sobre la superficie).

b) ii) Velocidad orbital:

(equivalente: $v = 2\pi r/T = 7{,}03\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$).

b) iii) Energía mecánica de una órbita circular:

Razonamiento del signo. Es negativa, y así debe ser: significa que el satélite está ligado al campo gravitatorio terrestre. Con la referencia $E_p = 0$ en el infinito, una energía mecánica negativa indica que el satélite no tiene energía suficiente para alejarse indefinidamente; sería necesario aportarle $2{,}47\cdot 10^{10}\,\text{J}$ para llevarlo hasta $E = 0$ y que escapara. Una energía positiva correspondería a una trayectoria abierta, no a una órbita.

a) La Luna describe (aproximadamente) una órbita circular de radio $r$ (distancia Tierra-Luna, que no cambia). La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta:

Ninguna de las dos depende del radio $R_T$ de la Tierra (su masa actúa como si estuviera concentrada en el centro), así que duplicar $R_T$ no influye; solo cuenta $M\to2M$:

• i) Falsa. $T' = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,2M}} = \dfrac{T}{\sqrt2}\approx0{,}71\,T$: el periodo no se duplica, disminuye.
• ii) Falsa. $v' = \sqrt{\dfrac{G\,2M}{r}} = \sqrt2\,v\approx1{,}41\,v$: la velocidad orbital aumenta.

b) Masa (invariante): $m = \dfrac{700}{9{,}8} = 71{,}4\,\text{kg}$. Gravedad en Marte:

b) Altura descendida: $h = 15\,\text{sen}\,30^\circ = 7{,}5\,\text{m}$. En la rampa sin rozamiento solo trabaja el peso (la normal es perpendicular al desplazamiento), así que se conserva la energía mecánica. Energía cinética al pie:

En el tramo horizontal la normal es $N = mg$ y la fuerza de rozamiento, $F_r = \mu mg$, realiza un trabajo $W_r = -\mu mg\,d$ que disipa toda la energía cinética hasta detener el cuerpo (teorema de la energía cinética: $W_r = 0 - E_c$):

(equivale a $\mu = h/d = 7{,}5/20$, porque la masa y $g$ se simplifican).

a) i) Falso. Si solo actúan fuerzas conservativas, $W_{\text{nc}} = 0$ y por tanto

La energía mecánica se conserva: ni aumenta ni disminuye. Lo que ocurre es que se transforma energía potencial en cinética y viceversa, pero la suma es constante.

a) ii) Falso. El rozamiento que se opone al desplazamiento forma $180^\circ$ con él, luego su trabajo es negativo:

y como $\Delta E_m = W_{\text{nc}} = W_{F_r} < 0$, la energía mecánica disminuye. Se disipa en forma de calor.

b) i) En el plano inclinado (liso) actúan solo el peso $\vec{P}$ (vertical hacia abajo) y la normal $\vec{N}$ (perpendicular al plano). En la superficie horizontal actúan el peso, la normal (ahora vertical) y el rozamiento $\vec{F}_r$, horizontal y opuesto al movimiento.

b) ii) Tomamos como origen de alturas la superficie horizontal. El desnivel que baja por el plano es

Energía mecánica inicial (arriba del plano, con $v_0 = 3\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$):

Energía mecánica final (sobre el suelo, con $v_f = 1\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$):

El trabajo del rozamiento es la variación de energía mecánica:

b) iii) Como el plano inclinado es liso, todo ese trabajo se ha hecho en los $2\,\text{m}$ horizontales, donde la normal vale $N = mg$:

Comprobación: la velocidad al final del plano sería $v_1 = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{9 + 10{,}1} = 4{,}38\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$, y en el tramo horizontal $\tfrac{1}{2}m(v_f^2 - v_1^2) = -45{,}4\,\text{J}$, que coincide.

a) i) Falsa. La energía mecánica se conserva cuando el trabajo de las fuerzas no conservativas es nulo:

La resultante no tiene nada que ver. Dos contraejemplos:

• Un cuerpo en caída libre: la resultante es el peso, que no es nula, y sin embargo la energía mecánica se conserva (el peso es conservativo).
• Un cuerpo que baja a velocidad constante por un plano inclinado con rozamiento: la resultante es nula, pero el rozamiento hace un trabajo negativo y la energía mecánica disminuye (la cinética no cambia y la potencial baja).

Así que la resultante nula no es ni necesaria ni suficiente.

ii) Verdadera. Si solo actúan fuerzas conservativas, $W_{nc} = 0$ y por tanto $\Delta E_m = 0$: la energía cinética y la potencial se intercambian, pero su suma se mantiene. (Más en general, también se conserva si actúan fuerzas no conservativas que no realizan trabajo, como una normal perpendicular al movimiento.)

b) i) Fuerzas sobre el niño: el peso $\vec{P}$ (vertical, hacia abajo), la normal $\vec{N}$ (perpendicular al tobogán) y el rozamiento $\vec{F}_r$ (paralelo al tobogán, hacia arriba, opuesto al movimiento). Se descompone el peso en una componente paralela al plano, $mg\,\text{sen}\,30^\circ$, y otra perpendicular, $mg\cos 30^\circ$.

Longitud del tobogán:

En la dirección perpendicular al plano no hay aceleración, así que

El rozamiento es opuesto al desplazamiento ($\alpha = 180^\circ$):

ii) Tomamos el origen de energía potencial al final del tobogán. Como parte del reposo, $E_{c,0} = 0$, y el teorema de la energía mecánica da

Algo más del 43 % de la energía potencial inicial se disipa por rozamiento. La velocidad al llegar:

Sin rozamiento habría llegado a $\sqrt{2gh} = 6{,}26\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$: el resultado es menor, como debe ser.

a) i) La velocidad de escape desde una distancia $r$ del centro de la Tierra se obtiene imponiendo energía mecánica nula:

Dividiendo la de la órbita entre la de la superficie:

Elevando al cuadrado:

a) ii) La aceleración de la gravedad a una distancia $r$ es $g = GM_T/r^2$, luego

La gravedad en la superficie es $256$ veces mayor que en la órbita; equivalentemente, $g_{\text{órbita}} = g_{\text{sup}}/256$.

b) i) De la expresión de la gravedad en la superficie:

b) ii) Velocidad de escape desde la superficie del planeta. Como $G M_p = g R^2$:

b) iii) Ahora el planeta es el cuerpo que orbita y la estrella el astro central. Para una órbita circular, la energía mecánica es

Despejando el radio, con $|E| = 8{,}15\cdot 10^{33}\,\text{J}$:

(unas $6{,}7$ unidades astronómicas: un planeta exterior de ese sistema).

a) i) Un cuerpo de masa $m$ lanzado desde la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ tiene energía mecánica

Escapar significa alcanzar el infinito, donde $E_p = 0$, y hacerlo justo con velocidad nula (caso límite), luego $E_{\infty} = 0$. Como no hay fuerzas disipativas, la energía se conserva:

Obsérvese que no depende de la masa del cuerpo que escapa: se cancela.

a) ii) Aplicando la fórmula a los dos astros y dividiendo:

Con $M_T = 81\,M_L$ y $R_T = 3{,}67\,R_L$:

La velocidad de escape desde la Tierra es unas $4{,}7$ veces la de la Luna. (Con $v_{e,T} \approx 11{,}2\,\text{km/s}$ resulta $v_{e,L} \approx 2{,}4\,\text{km/s}$, que es el valor real.)

b) i) Órbita estacionaria significa que el periodo del satélite coincide con el de rotación del planeta:

Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta, con $v = 2\pi r/T$:

b) ii) La misma expresión vale para la Tierra, así que al dividir se cancelan $G$ y $4\pi^2$:

Con $M_J = 318\,M_T$ y $T_J = 0{,}41\,T_T$:

El radio de la órbita estacionaria de Júpiter es unas $3{,}8$ veces el de la órbita geoestacionaria. (Comprobación: la órbita geoestacionaria terrestre está a $r_T = 4{,}23\cdot 10^{7}\,\text{m}$, y $1{,}59\cdot 10^{8}/4{,}23\cdot 10^{7} = 3{,}77$.)

a) La velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo en la superficie de un planeta (o, en general, a una distancia $r$ de su centro) para que escape de su atracción gravitatoria, es decir, para que llegue al infinito, donde la energía potencial es cero, con velocidad nula.

Si solo actúa la fuerza gravitatoria (conservativa), la energía mecánica se conserva. En la superficie ($r = R$) el cuerpo tiene $E_c = \tfrac12 m v_e^2$ y $E_p = -\dfrac{GMm}{R}$; en el infinito, en el caso límite, $E_c = 0$ y $E_p = 0$:

No depende de la masa $m$ del cuerpo ni de la dirección de lanzamiento (despreciando el rozamiento con la atmósfera). Con una velocidad menor la energía mecánica sería negativa y el cuerpo quedaría ligado al planeta.

b.i) En la órbita circular la fuerza gravitatoria actúa como centrípeta:

Con $GM_T = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24} = 3{,}99\cdot10^{14}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-1}$:

Es mayor que $R_T$, como debe ser: el satélite orbita a unos $7{,}2\cdot10^{5}\,\text{m}$ ($720\,\text{km}$) sobre la superficie.

b.ii) Energía potencial:

b.iii) Energía mecánica:

Como $mv^2 = GMm/r$ en la órbita circular, $E_c = -E_p/2$ y

Se comprueba con $E_c = \tfrac12\cdot100\cdot(7{,}5\cdot10^{3})^2 = 2{,}81\cdot10^{9}\,\text{J}$: $E_m = 2{,}81\cdot10^{9} - 5{,}63\cdot10^{9} = -2{,}81\cdot10^{9}\,\text{J}$. Es negativa: el satélite está ligado a la Tierra.

a) Velocidad orbital. La fuerza gravitatoria hace de centrípeta:

Velocidad de escape. Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, energía mecánica total nula:

Dividiendo ambas expresiones:

La relación es universal: no depende del planeta ni de la distancia, solo de que ambas se evalúen en el mismo punto.

b) i) De la velocidad orbital, con $v = 7{,}6\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ y $G M_T = 3{,}99\cdot 10^{14}$:

(es decir, unos $536\,\text{km}$ de altura sobre la superficie: una órbita baja, típica de un satélite de observación radar como el Paz).

b) ii) Periodo orbital:

(unos $95$ minutos). Número de vueltas en un día:

Da aproximadamente $15$ vueltas al día.

b) iii) Energía potencial en la órbita y en la superficie:

Diferencia:

Es positiva: en la órbita la energía potencial es mayor (menos negativa) que en la superficie, como corresponde a estar más lejos. Ésa es la energía que hubo que aportar, solo en concepto de potencial, para subirlo.

a) i) La tercera ley de Kepler afirma que, para los cuerpos que orbitan alrededor de un mismo astro central, el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita (del semieje mayor, en general):

Magnitudes y unidades en el S.I.:

• $T$: periodo orbital, en segundos (s).
• $r$: radio de la órbita, en metros (m).
• $M$: masa del astro central, en kilogramos (kg).
• $G$: constante de gravitación universal, $6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

Obsérvese que la constante de proporcionalidad $4\pi^2/GM$ no depende de la masa del satélite: es la misma para todos los que orbiten ese planeta.

a) ii) Aplicando la ley a los dos satélites y dividiendo, la constante se cancela:

Con $r_1 = 2\,r_2$:

El satélite de la órbita exterior tarda unas $2{,}83$ veces más en dar una vuelta.

b) i) Radio de la órbita (¡desde el centro del planeta!):

Periodo: $T = 1\ \text{día} = 86\,400\ \text{s}$.

Despejando la masa de la tercera ley de Kepler:

b) ii) La energía cinética de un satélite en órbita circular es

Con $G M = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}39\cdot 10^{24} = 9{,}30\cdot 10^{13}$ y $m = 200\,\text{kg}$:

Órbita original ($r_1 = 2{,}6\cdot 10^{7}\,\text{m}$):

Órbita a la mitad de altura ($h_2 = 10^{4}\,\text{km}$, luego $r_2 = 6000 + 10\,000 = 16\,000\ \text{km} = 1{,}6\cdot 10^{7}\,\text{m}$):

Diferencia:

En valor absoluto, $2{,}23\cdot 10^{8}\,\text{J}$: el satélite tiene más energía cinética en la órbita baja, porque allí va más rápido.

a.i) La velocidad orbital es la velocidad (tangente a la trayectoria) que debe llevar un satélite para describir una órbita circular estable de radio $r$ alrededor de un astro. En una órbita circular, la única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria de la Tierra, que actúa como fuerza centrípeta:

No depende de la masa del satélite, y disminuye al aumentar el radio de la órbita.

a.ii) La velocidad de escape es la mínima que hay que dar a un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad nula ($E_m = 0$):

A una altura $h$, $r = R_T + h$. Para $h=2R_T\Rightarrow r_1=3R_T$; para $h=3R_T\Rightarrow r_2=4R_T$. Como $v_e\propto1/\sqrt r$:

La velocidad de escape a una altura de $2R_T$ es $1{,}15$ veces la correspondiente a $3R_T$: al subir, disminuye en un factor $\sqrt{3/4} = 0{,}87$.

b.i) Con $T = 86400\,\text{s}$ y $r = \left(\dfrac{GM\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$:

b.ii) Energía de puesta en órbita: la diferencia entre la energía mecánica del satélite en su órbita ($E_m = E_c + E_p = -\tfrac{GM_Tm}{2r}$) y la que tiene en reposo en la superficie (despreciamos la rotación terrestre):

(Si solo se quisiera subirlo hasta esa altura, sin darle la velocidad orbital, bastaría $\Delta E_p = GM_Tm\left(\tfrac1{R_T}-\tfrac1r\right) = 2{,}39\cdot10^{11}\,\text{J}$; para dejarlo en órbita hay que aportar además su energía cinética orbital, $2{,}12\cdot10^{10}\,\text{J}$.)

a) i) Verdadero. La ley de gravitación universal es

La fuerza tiene siempre la dirección de la recta que une las dos partículas y está dirigida hacia la partícula que la crea. Eso es precisamente lo que define una fuerza central: su línea de acción pasa siempre por un punto fijo (el centro de fuerzas) y su módulo solo depende de la distancia a ese punto. Como consecuencia, el momento de la fuerza respecto a ese centro es nulo y se conserva el momento angular, que es lo que hace que las órbitas sean planas y se cumpla la segunda ley de Kepler.

a) ii) Falso. El módulo es

es decir, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, no directamente. Si la distancia se duplica, la fuerza se reduce a la cuarta parte; si fuese como dice el enunciado, se haría cuatro veces mayor, y dos cuerpos alejados se atraerían más que dos próximos, lo que es absurdo.

a.i) Falsa. El trabajo de una fuerza es $W = \int \vec F\cdot d\vec r$, y es distinto de cero para cualquier fuerza que tenga componente en la dirección del desplazamiento, sea o no conservativa. Lo que distingue a las conservativas es que su trabajo no depende del camino (solo de los puntos inicial y final) y es nulo en una trayectoria cerrada, lo que permite definir una energía potencial con $W_c = -\Delta E_p$. Las no conservativas también trabajan: el rozamiento realiza trabajo negativo sobre un cuerpo que desliza, y la fuerza de un motor o de una persona que empuja un carro realiza trabajo positivo.

a.ii) Falsa. Por el teorema de la energía cinética, el trabajo de todas las fuerzas es $W_{\text{total}} = \Delta E_c$. Si solo actúan fuerzas conservativas, $W_{\text{total}} = W_c = -\Delta E_p$, así que

Lo que se conserva es la energía mecánica, no la cinética: la cinética aumenta cuando la potencial disminuye y viceversa. Ejemplo: en una caída libre solo actúa el peso (conservativo) y la energía cinética del cuerpo crece a medida que baja. La $E_c$ solo sería constante si la partícula se moviera sin cambiar su energía potencial (por ejemplo, una órbita circular).

a) i) Falsa. La relación correcta es

La energía mecánica varía solo si las fuerzas no conservativas realizan trabajo, no por el mero hecho de actuar. El contraejemplo inmediato es la fuerza normal: es no conservativa y siempre perpendicular al desplazamiento, luego $W_N = 0$. Un cuerpo que desliza por una superficie horizontal lisa tiene normal actuando sobre él y conserva perfectamente su energía mecánica.

a) ii) Falsa. Si $W_{\text{nc}} = 0$, lo que se conserva es la energía mecánica, no la cinética:

La energía cinética puede cambiar perfectamente, a costa de la potencial. El ejemplo más claro es la caída libre: no hay fuerzas no conservativas que trabajen, la energía mecánica se conserva y sin embargo el cuerpo se acelera, luego $\Delta E_c \neq 0$.

Solo sería nula si además la energía potencial no cambiara.

a) i) Verdadero. Es el teorema de las fuerzas vivas (o teorema trabajo-energía cinética), que vale para el trabajo total de todas las fuerzas, sean del tipo que sean:

a) ii) Falso. La relación $W = -\Delta E_p$ es la definición de energía potencial y solo se aplica al trabajo de las fuerzas conservativas:

Como aquí $W$ incluye también el trabajo de las fuerzas no conservativas, en general

Solo coincidirían si $W_{\text{nc}} = 0$, es decir, si no hubiera fuerzas no conservativas que trabajen, que es justo lo contrario de lo que dice el enunciado.

a) Sean dos masas iguales $m$ separadas una distancia $d$.

i) Verdadera. Hay que revisar las tres zonas posibles:

• En el punto medio: las distancias son iguales y las masas también, luego los dos campos tienen el mismo módulo y sentidos opuestos. Se cancelan: $\vec{g} = 0$.
• Sobre la recta que une las masas, pero fuera del segmento: los dos campos apuntan en el mismo sentido (hacia las masas), así que se suman y nunca dan cero.
• Fuera de esa recta: cada campo apunta hacia su masa, y las dos masas están sobre la recta, así que las dos componentes perpendiculares a la recta apuntan hacia ella y se suman (en la mediatriz, las componentes paralelas a la recta se cancelan, pero las perpendiculares siguen sumándose). El campo tampoco es nulo.

El único punto a distancia finita donde $\vec{g} = 0$ es, por tanto, el punto medio (el campo también tiende a cero en el infinito, pero solo como límite).

ii) Verdadera. El potencial total es

suma de dos cantidades negativas, que nunca puede dar cero a distancia finita. Solo tiende a cero cuando $r_1, r_2 \to \infty$.

a) En una órbita circular de radio $r = R_T + h$, la fuerza gravitatoria es la centrípeta: $\dfrac{GMm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow mv^2 = \dfrac{GMm}{r}$. Por tanto:

La afirmación es falsa (solo es cierta en parte): al aumentar $r$, la energía mecánica ($-GMm/2r$) y la potencial ($-GMm/r$) aumentan (se hacen menos negativas), pero la energía cinética ($GMm/2r$) disminuye (el satélite va más lento). Luego no es cierto que aumenten las dos.

a.i) No. Solo puede definirse una energía potencial para las fuerzas conservativas, aquellas cuyo trabajo entre dos puntos depende únicamente de las posiciones inicial y final (y es nulo en una trayectoria cerrada); entonces $W_{A\to B} = -\left[E_p(B)-E_p(A)\right]$. El rozamiento es una fuerza no conservativa (disipativa): se opone siempre al movimiento, su trabajo es siempre negativo y depende de la longitud del camino recorrido ($W_r = -F_r\,L$), de modo que en un camino cerrado no es nulo. No existe, por tanto, una función de la posición cuya variación dé su trabajo: no se le puede asociar energía potencial. Su trabajo se traduce en una pérdida de energía mecánica (que se disipa como calor).

a.ii) Tiene más sentido físico la variación de energía potencial. La energía potencial en un punto depende del origen (nivel de referencia) que se elija arbitrariamente —por ejemplo, $E_p = mgh$ con $h=0$ en el suelo, o $E_p = -GMm/r$ con origen en el infinito—, de modo que su valor en un punto está definido salvo una constante. En cambio, $\Delta E_p = E_p(B) - E_p(A) = -W_{A\to B}$ no depende de esa elección y está ligada a una magnitud medible: el trabajo realizado por la fuerza conservativa.

a1) i) Verdadera. Por el teorema de las fuerzas vivas (o de la energía cinética), el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la variación de su energía cinética:

Si $W_{\text{total}} > 0$, entonces $E_{c,f} > E_{c,i}$: la energía cinética aumenta necesariamente. (Ojo: esto vale para el trabajo total; el trabajo positivo de una sola fuerza no garantiza nada si otras hacen trabajo negativo).

ii) Verdadera. El trabajo elemental de una fuerza es

porque el desplazamiento $d\vec{r}$ es siempre tangente a la trayectoria. Si la fuerza resultante es siempre perpendicular a ella, el trabajo total es nulo y, por el teorema anterior, $\Delta E_c = 0$: el módulo de la velocidad no cambia. La fuerza solo cambia la dirección de la velocidad; es el caso del movimiento circular uniforme (fuerza centrípeta) o de una carga en un campo magnético.

a2) En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

i) Falsa. La energía cinética es

inversamente proporcional al radio: al aumentar $r$, la velocidad orbital y la energía cinética disminuyen.

ii) Verdadera. La energía mecánica es

Es negativa (el satélite está ligado) y, al aumentar $r$, su valor absoluto se hace más pequeño: se acerca a cero, así que aumenta. Por eso hay que aportar energía (encender los motores) para subir un satélite a una órbita más alta.