De la manzana de Newton a los satélites: fuerza, campo, energía y órbitas
FuerzaCampoPotencial y energía potencialEnergía cinética y velocidadMasas
Para empezar
¿Por qué no se cae la Luna?
Newton imaginó un cañón en una montaña altísima, por encima del aire. Cuanto más rápido dispara, más lejos cae la bala.
A unos 7,8 km/s, el suelo se curva tanto como la trayectoria: cae sin parar… y nunca llega. Eso es una órbita.
Por encima de 11 km/s ya no vuelve.
La Luna sí cae hacia la Tierra, todo el rato. Lo que pasa es que también avanza.
El camino del tema
Qué vamos a ver
1. La fuerza
Ley de gravitación universal.
2. El campo
Qué le hace una masa al espacio: $\vec g$.
3. La energía
Energía potencial, potencial, ¿$mgh$?
4. Escapar
La velocidad para no volver nunca.
5. Satélites
Órbitas, periodos y energía.
6. Kepler
Sus tres leyes y el momento angular.
7. El universo
Materia oscura, agujeros negros, exoplanetas.
8. Para el examen
Las cinco deducciones obligatorias.
Empezamos con un repaso de 1.º (trabajo y energía). ✎ A la pizarra: tras cada idea, un problema de la PAU de Andalucía.
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Repaso de 1.º
El trabajo y la energía cinética
Trabajo de una fuerza constante a lo largo de un desplazamiento $d$:
$$W = F\,d\cos\alpha$$
Solo trabaja la componente de la fuerza en la dirección del movimiento: una fuerza perpendicular (la normal en un suelo horizontal) no hace trabajo.
Teorema de las fuerzas vivas: el trabajo de todas las fuerzas (el de la resultante) es la variación de energía cinética:
$$W_{total} = \Delta \cK{E_c} = \tfrac12 m v_f^2 - \tfrac12 m v_i^2$$
Fuerzas conservativas
Peso, gravitatoria, elástica. Su trabajo no depende del camino (es nulo en un camino cerrado) y se escribe como $W = -\Delta \cV{E_p}$.
Fuerzas no conservativas
Rozamiento, fuerzas aplicadas, motores. Su trabajo sí depende del camino. El rozamiento siempre hace trabajo negativo.
Repaso de 1.º
Fuerzas no conservativas: $W_{nc} = \Delta E_m$
1Separamos el trabajo total: $\;W_c + W_{nc} = \Delta \cK{E_c}$
2El de las conservativas es $W_c = -\Delta \cV{E_p}$, así que
$$W_{nc} = \Delta \cK{E_c} + \Delta \cV{E_p} = \Delta E_m$$
Sin fuerzas no conservativas, $E_m$ se conserva. El rozamiento ($F_r = \mu N$) hace $W < 0$: la energía mecánica disminuye y se disipa como calor.
En un plano inclinado, $N = mg\cos\alpha$ y $\;W_{roz} = -\mu\,m g\cos\alpha\;d$.
A la pizarra · Repaso de 1.º · PAU Andalucía 2024 · Ordinaria · Titular
Un bloque que frena: $W_{nc} = \Delta E_m$
a) Razone si son verdaderos los siguientes enunciados: i) El trabajo total realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica. ii) Siempre que actúen fuerzas no conservativas la energía mecánica varía.
b) Un bloque de masa $150\,\text{kg}$ desliza por una superficie horizontal con rozamiento. El bloque se mueve hacia la derecha con velocidad inicial $3\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$. Sobre el bloque actúa una fuerza de módulo $20\,\text{N}$ dirigida hacia la izquierda y que forma un ángulo de $30^\circ$ sobre la horizontal, recorriendo $25\,\text{m}$ hasta detenerse. i) Realice un esquema de las fuerzas ejercidas sobre el bloque. ii) Calcule las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica del bloque en el trayecto descrito. iii) Calcule el trabajo realizado por cada una de las fuerzas aplicadas sobre el bloque.
a) ii) Falso. De $W_{\text{nc}} = \Delta E_m$ se deduce que la energía mecánica varía solo si las fuerzas no conservativas realizan trabajo, no por el mero hecho de actuar. El contraejemplo más limpio es la fuerza normal: es no conservativa y siempre perpendicular al desplazamiento, luego $W_N = 0$. Un cuerpo que desliza por un plano horizontal liso tiene normal actuando y conserva su energía mecánica.
b) i) Sobre el bloque actúan cuatro fuerzas: el peso $\vec{P}$ (vertical hacia abajo), la normal $\vec{N}$ (vertical hacia arriba), la fuerza aplicada $\vec{F}$ (hacia la izquierda, $30^\circ$ por encima de la horizontal) y el rozamiento $\vec{F}_r$ (horizontal, hacia la izquierda, opuesto al movimiento).
Tomando el eje $X$ positivo hacia la derecha (sentido del movimiento), las componentes de la fuerza aplicada son
Los dos trabajos son negativos, coherente con que ambas fuerzas frenan el bloque.
Comprobación (no la pide el enunciado, pero cuadra): la normal vale $N = mg - F\,\text{sen}\,30^\circ = 1470 - 10 = 1460\ \text{N}$, luego $\mu = \dfrac{242}{1460\cdot 25} = 6{,}6\cdot 10^{-3}$, un valor pequeño pero posible.
$$\boxed{\;\text{i) Verdadero: } W_{\text{nc}} = \Delta E_m \qquad \text{ii) Falso (la normal no trabaja)}\;}$$
$\vec F_{12}$: fuerza que $m_1$ ejerce sobre $m_2$. $\vec u_{12}$: vector unitario que va de la masa que ejerce la fuerza ($m_1$) a la que la recibe ($m_2$).
El signo menos: $\vec F_{12}$ apunta al revés que $\vec u_{12}$, hacia $m_1$. Es atractiva.
Módulo: $F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$. Con $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ es muy débil: solo se nota con masas astronómicas.
donde $\vec u_r$ es el vector unitario dirigido de $m_1$ hacia $m_2$ y $\vec F_{12}$ la fuerza que $m_1$ ejerce sobre $m_2$. Sus características son:
Siempre atractiva (signo $-$): no hay "masas negativas".
Central: actúa a lo largo de la recta que une las dos masas.
Su módulo es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia; $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}$ es una constante universal, que no depende del medio.
Cumple el principio de acción y reacción: $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$ (mismo módulo y dirección, sentidos opuestos, aplicadas en cuerpos distintos).
Es de alcance infinito pero muy débil (el valor de $G$ es muy pequeño): solo es apreciable cuando alguna de las masas es muy grande.
Es conservativa: su trabajo no depende del camino, y lleva asociada la energía potencial $E_p = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$.
2 · El campo
Antes de nada: ¿qué es un campo?
Un campo asigna a cada punto del espacio el valor de una magnitud.
Campo escalar
Un número en cada punto, $T(x, y, z)$: temperatura, altitud… Colores y líneas de igual valor.
Campo vectorial
Un vector en cada punto, $\vec v(x, y, z)$: viento, corrientes… Se dibuja con flechas.
En gravitación: $\cG{\vec g}$ es un campo vectorial y el potencial $\cV{V}$, uno escalar.
2 · El campo
¿Cómo atrae la Tierra a la Luna sin tocarla?
La ley de Newton no explica cómo se ejercen las masas su mutua influencia sin contacto: es una acción a distancia, y ni a él le convencía.
«Es inconcebible que la materia bruta e inanimada pueda, sin la mediación de algo más que no sea material, operar sobre otra materia y afectarla sin que se produzca un contacto mutuo […]. La gravedad tiene que provocarla un agente que actúe de manera constante según ciertas leyes; pero si este agente es material o inmaterial, lo dejo a la consideración de mis lectores.»
Isaac Newton, carta a Richard Bentley (1693)
La masa $M$ crea un campo gravitatorio a su alrededor, y es el campo el responsable de la acción sobre la masa de prueba. La acción deja de ejercerse a distancia: el campo hace de mediador.
2 · El campo
Intensidad del campo gravitatorio
El campo es una entidad física medible: la intensidad del campo gravitatorio en un punto (o, simplemente, campo gravitatorio) es la fuerza ejercida sobre la unidad de masa colocada en ese punto.
$$\cG{\vec g} = \frac{\cF{\vec F}}{\cM{m}}$$
$\vec g$ intensidad del campo gravitatorio
$\vec F$ fuerza que nota la masa de prueba
$m$ masa de prueba
Es un vector con la dirección y el sentido de la fuerza gravitatoria.
Dimensiones de aceleración: $[g] = \frac{[M\,L\,T^{-2}]}{[M]} = [L\,T^{-2}]$
Campo vectorial: un vector, y solo uno, en cada punto.
Central: el signo menos hace que apunte siempre hacia la masa que crea el campo.
Es independiente de la masa de prueba: solo depende de la masa que crea el campo y de la distancia a su centro.
Decrece con el cuadrado de la distancia ($2R_T \to g_0/4$); es nulo en el infinito.
Líneas de fuerza: tangentes al campo y convergentes en la masa (sumideros de campo). Representan la trayectoria que seguiría una masa que parte del reposo y se suelta.
2 · El campo
Campo gravitatorio y acción sobre las masas
Conviene distinguir el campo, que solo depende de la masa que lo crea, de la acción (fuerza) que ejerce sobre una masa colocada en su seno:
$$\cF{\vec F} = \cM{m}\,\cG{\vec g}$$
Esa fuerza no es otra que la de atracción gravitatoria:
$$m\,\vec g = m\left(-\frac{GM}{r^2}\,\vec u_r\right) = -\,\frac{GMm}{r^2}\,\vec u_r$$
Ejemplo: en la superficie de la Luna
$M_L = 7{,}35\cdot10^{22}$ kg; $\ R_L = 1{,}74\cdot10^{6}$ m
$g = \dfrac{GM_L}{R_L^2} = 1{,}62\ \text{N/kg}$
Un astronauta de 80 kg: $F = 130$ N. El vehículo de 900 kg: $F = 1{,}46\cdot10^{3}$ N.
El campo es el mismo para los dos; la fuerza, no.
En la superficie terrestre, el campo coincide con la aceleración de la gravedad: $g_0 = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.
2 · El campo
Fuerza y campo: no son lo mismo
Fuerza gravitatoria $\cF{\vec F}$
Campo gravitatorio $\cG{\vec g}$
¿Qué es?
Una interacción entre masas
Una propiedad del espacio creada por una masa
¿Cuántas masas?
Dos como mínimo: una que ejerce la fuerza ($M$) y otra que la recibe ($m$)
Una: la que lo crea ($M$). Existe aunque no haya masa de prueba
Expresión
$\vec F = -\,G\dfrac{Mm}{r^2}\,\vec u_r$
$\vec g = -\,G\dfrac{M}{r^2}\,\vec u_r$
Depende de
$M$, $m$ y $r$
Solo $M$ y $r$
Relación
$\vec F = m\,\vec g$
$\vec g = \vec F/m$
Unidades
N
N/kg = m/s²
Dimensiones
$[M\,L\,T^{-2}]$
$[L\,T^{-2}]$
En común: los dos son vectores, centrales (dirigidos hacia la masa que crea el campo) y cumplen el principio de superposición.
Principio de superposición: el campo en un punto es la suma vectorial de los campos individuales creados por cada masa, como si cada una estuviera sola.
Entre dos masas hay un punto donde los dos campos se anulan:
$$\frac{G M_1}{x^2} = \frac{G M_2}{(d-x)^2} \;\Rightarrow\; x = d\,\frac{\sqrt{M_1}}{\sqrt{M_1}+\sqrt{M_2}}$$
Siempre más cerca de la masa pequeña.
A la pizarra · 2 · El campo · PAU Andalucía 2017 · Ordinaria · Titular
El campo de dos masas iguales
b) Dos masas de $10\,\text{kg}$ se encuentran situadas, respectivamente, en los puntos $(0,0)\,\text{m}$ y $(0,4)\,\text{m}$. Represente en un esquema el campo gravitatorio que crean en el punto $(2,2)\,\text{m}$ y calcule su valor.
En el esquema, los dos vectores salen de $P$ formando $45^\circ$ por encima y por debajo de la horizontal, apuntando hacia el eje $Y$. Al sumarlos, las componentes $y$ se cancelan:
En la ISS ($h = 400$ km): $g \approx 8{,}7$ N/kg, el 89 % de la del suelo.
Los astronautas no flotan porque «no haya gravedad»: caen continuamente, igual que la estación. Es ingravidez aparente.
A la pizarra · 2 · El campo · PAU Andalucía 2018 · Ordinaria · Reserva A
¿Dónde vale g la cuarta parte? ¿Y en Marte?
a) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte? Exprese el resultado en función de $R_T$.
b) El radio de Marte es $0{,}531\,R_T$ y su masa $0{,}107\,M_T$. Determine: i) la gravedad en la superficie de Marte; ii) el tiempo que tarda en caer una piedra de $1\,\text{kg}$ desde $10\,\text{m}$ de altura sobre Marte.
Solución · PAU Andalucía 2018 · Ordinaria · Reserva A
a) Fuera de la Tierra, la intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro es $g(r) = \dfrac{GM_T}{r^2}$, y en la superficie $g_0 = \dfrac{GM_T}{R_T^2}$. Dividiendo:
$$\frac{g(r)}{g_0} = \frac{R_T^2}{r^2} = \frac14 \Rightarrow r = 2R_T \Rightarrow h = r - R_T = \boxed{R_T}$$
(a una altura igual al radio terrestre, unos $6370\,\text{km}$).
b.i) Gravedad en la Tierra con los datos: $g_T = \dfrac{GM_T}{R_T^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^{6})^2} = 9{,}83\ \text{m s}^{-2}$. En Marte:
b.ii) En $10\,\text{m}$ de caída $g_M$ es prácticamente constante (MRUA desde el reposo) y, sin rozamiento, el movimiento no depende de la masa de la piedra ($1\,\text{kg}$ es un dato irrelevante):
Si $m$ no va en línea recta, solo trabaja la parte del desplazamiento en la dirección de $\vec F$, que es radial: $\vec F\cdot d\vec r = F\,dr$. Moverse «en círculo» alrededor de $M$ no cuesta nada.
Así que $W$ solo depende de $r_A$ y $r_B$: la fuerza gravitatoria es conservativa.
Por eso se puede escribir como una diferencia:
$$W_{A\to B} = \cV{E_p(A)} - \cV{E_p(B)} = -\Delta \cV{E_p}$$
3 · La energía
La energía potencial… y su constante
Comparando $\;W_{A\to B} = \dfrac{GMm}{r_B} - \dfrac{GMm}{r_A}\;$ con $\;W_{A\to B} = \cV{E_p(A)} - \cV{E_p(B)}$, la energía potencial tiene que ser:
$$\cV{E_p(r)} = -\,\frac{G M m}{r} + C$$
¿Y la constante $C$?
No se puede saber: al restar $E_p(A) - E_p(B)$ se va. Solo tienen sentido físico las diferencias. El cero lo elegimos nosotros.
Cero en el infinito
$C = 0$ y $\cV{E_p} = -GMm/r$, siempre negativa. Es el convenio de la PAU: vale para cualquier planeta y el signo de $E_m$ dice si está ligado.
Cero en el suelo
$C = GMm/R_p$ y $\cV{E_p} = GMm\,(1/R_p - 1/r)$, que cerca de la superficie es justo $mgh$ (lo veremos enseguida).
3 · La energía
¿Qué significa la energía potencial?
¿Qué mide $\cV{E_p} = -GMm/r$? Calculemos el trabajo mínimo para llevar $m$, en reposo en $r$, hasta el infinito: fuera de la acción del campo.
1La fuerza externa no es conservativa:
$$W_{ext} = \Delta E_m = \left(\cK{E_{c,f}} + \cV{E_{p,\infty}}\right) - \left(\cK{E_{c,i}} + \cV{E_p(r)}\right)$$
2Parte del reposo y en el infinito $\cV{E_p} = 0$:
$$W_{ext} = \cK{E_{c,f}} - \cV{E_p(r)}$$
3Es mínimo si llega con $\cK{E_{c,f}} = 0$:
$$W_{min} = -\,\cV{E_p(r)} = \frac{GMm}{r}$$
Energía potencial de una masa en un punto: el trabajo mínimo necesario para llevarla desde ese punto hasta el infinito, cambiado de signo.
¿Por qué es negativa?
Porque para sacar la masa del campo hay que aportarle energía: dentro del campo tiene menos que fuera, donde vale cero. La masa está ligada.
3 · La energía
Un pozo de energía potencial
Si dibujamos $\cV{E_p}$ frente a la distancia, cada masa está en la pared de un pozo, más profundo cuanto más cerca de $M$.
La profundidad a la que está, $|\cV{E_p}| = GMm/r$, es la energía que hay que darle para que salga del pozo.
Si le damos menos, sube por la pared, se para y vuelve a caer. Con $|\cV{E_p}|$ o más, llega al infinito.
$E_p < 0$ quiere decir: masa ligada al campo. Es la idea de la velocidad de escape, que veremos pronto.
3 · La energía
¿$mgh$ o $-GMm/r$?
Subir $m$ desde el suelo ($r = R_T$) hasta una altura $h$:
$mgh$ no es otra energía: es la general cuando la altura es pequeña. En órbitas, nunca.
A la pizarra · 3 · La energía · PAU Andalucía 2018 · Ordinaria · Reserva B
Cada energía potencial en su sitio
a) Para la energía potencial gravitatoria se usan $E_p = mgh$ y $E_p = -G\dfrac{Mm}{r}$. Indique la validez de cada una y dónde sitúa su sistema de referencia.
Solución debajo (↓)
Solución · PAU Andalucía 2018 · Ordinaria · Reserva B
a) Solo tienen sentido físico las diferencias de energía potencial, así que cada expresión lleva implícito un origen (nivel de referencia) donde $E_p = 0$.
$E_p = -G\dfrac{Mm}{r}$ es la expresión general: vale para cualquier distancia $r \geq R_p$ al centro del astro (esférico) de masa $M$. Su referencia está en el infinito: $E_p \to 0$ cuando $r\to\infty$, y por eso es siempre negativa (hay que aportar energía para separar las masas hasta el infinito). $r$ se mide desde el centro del astro.
$E_p = mgh$ es una aproximación válida solo cerca de la superficie, para alturas $h \ll R_T$, donde $g$ puede considerarse constante (campo uniforme). Su referencia ($E_p = 0$ en $h = 0$) se elige arbitrariamente, normalmente en la superficie terrestre o en el nivel más bajo del problema, y $h$ se mide desde ese nivel.
Relación: entre la superficie ($R_T$) y una altura $h$, $\Delta E_p = GMm\left(\dfrac1{R_T}-\dfrac1{R_T+h}\right) = \dfrac{GMm\,h}{R_T(R_T+h)} \approx \dfrac{GM}{R_T^2}\,m\,h = mgh$ si $h\ll R_T$.
3 · La energía
El potencial gravitatorio
La fuerza gravitatoria es conservativa: podemos definir la energía potencial por unidad de masa colocada en el campo.
Un escalar en cada punto del campo, siempre negativo: el cero está a distancia infinita.
$[V] = [L^2\,T^{-2}]$ · Unidades SI: J/kg = m²/s²
Principio de superposición
$V_{TOT} = V_1 + V_2 + \dots$ Se suman números, no vectores.
Líneas (o superficies) equipotenciales
Unen los puntos de igual potencial: circunferencias (esferas) centradas en la masa, perpendiculares a las líneas de fuerza.
Campo y potencial
El campo apunta hacia donde el potencial baja: $\cG{g} = -\,dV/dr$. Para una masa puntual, en módulo: $\cG{g} = |\cV{V}|/r$.
3 · La energía
Potencial y energía potencial: no son lo mismo
Potencial · del sitio
$\cV{V} = -\dfrac{GM}{r}$, en J/kg. Solo depende de la masa que crea el campo.
Energía potencial · de la masa
$\cV{E_p} = m\,V$, en J. Es de la masa colocada en el campo: doble $m$, doble $E_p$.
$W_{1\to 2} = -\Delta \cV{E_p} = m\,(\cV{V_1} - \cV{V_2})$. Sobre una equipotencial, $W = 0$: la fuerza es perpendicular a ella.
3 · La energía
Fuerza, campo, energía potencial y potencial
Fuerza $\cF{\vec F}$
Campo $\cG{\vec g}$
Energía potencial $\cV{E_p}$
Potencial $\cV{V}$
¿Qué es?
Interacción entre masas
Propiedad del espacio: fuerza por unidad de masa
Energía de una masa colocada en el campo
Propiedad del espacio: energía potencial por unidad de masa
¿Cuántas masas?
Dos como mínimo ($M$ y $m$)
Una ($M$)
Dos como mínimo ($M$ y $m$)
Una ($M$)
¿Vector o escalar?
Vector
Vector
Escalar
Escalar
Expresión
$-\,G\dfrac{Mm}{r^2}\,\vec u_r$
$-\,G\dfrac{M}{r^2}\,\vec u_r$
$-\,G\dfrac{Mm}{r}$
$-\,G\dfrac{M}{r}$
Relación
$\vec F = m\,\vec g$
$\vec g = \vec F/m$
$E_p = m\,V$
$V = E_p/m$
Unidades
N
N/kg = m/s²
J
J/kg = m²/s²
$\vec g$ y $V$ describen el espacio (solo dependen de $M$ y del punto); $\vec F$ y $E_p$ aparecen cuando colocamos una masa $m$: basta multiplicar por $m$.
A la pizarra · 3 · La energía · PAU Andalucía 2017 · Ordinaria · Reserva A
Potencial y trabajo con dos masas
a) Una partícula de masa $m$ se desplaza de $A$ a $B$ en el campo de otra masa $M$. Si el potencial en $B$ es mayor que en $A$, razone si el desplazamiento es espontáneo.
b) $m_1 = 500\,\text{kg}$ en $(0,4)\,\text{m}$ y $m_2 = 500\,\text{kg}$ en $(-3,0)\,\text{m}$. Determine el trabajo de la fuerza gravitatoria para desplazar $m_3 = 250\,\text{kg}$ desde $(3,0)$ hasta $(0,-4)\,\text{m}$.
Solución · PAU Andalucía 2017 · Ordinaria · Reserva A
a) El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria (conservativa) al llevar la partícula de $A$ a $B$ es igual a menos la variación de su energía potencial, con $E_p = mV$:
$$W_{A\to B} = -\Delta E_p = -m\,(V_B - V_A)$$
Como $m>0$ y $V_B > V_A$, resulta $W_{A\to B} < 0$ y la energía potencial aumenta. Un desplazamiento es espontáneo cuando lo produce la propia fuerza del campo, es decir, cuando esta realiza trabajo positivo y la energía potencial disminuye. Aquí ocurre lo contrario: el desplazamiento no es espontáneo; la partícula se mueve en contra de la fuerza gravitatoria (se aleja de $M$, pues $V=-GM/r$ aumenta con $r$) y un agente externo tiene que aportar, como mínimo, la energía $m(V_B - V_A)$.
El trabajo gravitatorio es negativo: la partícula va hacia mayor potencial (menos ligada), en contra de la fuerza.
A la pizarra · 3 · La energía · PAU Andalucía 2017 · Ordinaria · Titular
¿Se anulan el campo y el potencial entre dos masas?
a) Dos partículas, de masas $m$ y $2m$, se encuentran situadas en dos puntos del espacio separados una distancia $d$. ¿Es nulo el campo gravitatorio en algún punto cercano a las dos masas? ¿Y el potencial gravitatorio? Justifique las respuestas.
a)Campo. El módulo del campo creado por cada masa es $g = Gm/r^2$ y su sentido es siempre hacia la masa que lo crea. Fuera de la recta que une las masas, o sobre ella pero fuera del segmento, los dos vectores no son opuestos (fuera del segmento apuntan en el mismo sentido) y no pueden anularse. Entre las dos masas, en cambio, los campos tienen sentidos opuestos, así que puede haber un punto donde se anulen. Si $x$ es la distancia a la masa $m$, medida sobre la recta que las une:
$$\frac{G m}{x^2} = \frac{G\,2m}{(d-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (d-x)^2 = 2x^2 \quad\Longrightarrow\quad d - x = \sqrt{2}\,x$$
$$x = \frac{d}{1+\sqrt{2}} \approx 0{,}41\,d$$
Sí existe ese punto, y está entre las dos masas, más cerca de la menor.
Potencial. El potencial de cada masa es
$$V = -\frac{G m}{r} < 0$$
La suma de dos cantidades negativas es negativa: el potencial total nunca se anula en ningún punto a distancia finita. Solo tiende a cero cuando $r \to \infty$.
3 · La energía · ejemplo
Conservación: ¿hasta dónde sube?
Lanzamos un proyectil en vertical desde el suelo a 5 km/s, sin aire. ¿Qué altura alcanza?
1Solo actúa la gravedad: $\ \cK{E_c} + \cV{E_p} = \text{cte}$
$$\tfrac12 m v_0^2 - \frac{GM_Tm}{R_T} = 0 - \frac{GM_Tm}{r}$$
2La masa se va. Despejamos: $r = 7{,}96\cdot10^{6}$ m, así que $h = r - R_T \approx \mathbf{1590\ km}$.
Con $mgh$ habríamos dicho $h = \dfrac{v_0^2}{2g} = 1275$ km: un 20 % menos. A esa altura $g$ ya no es constante.
4 · Escapar
La velocidad de escape
La velocidad mínima para no volver nunca: llegar al infinito ($\cV{E_p} = 0$) justo sin velocidad ($\cK{E_c} = 0$).
Se cancela: un grano de arena y un cohete necesitan la misma.
4 · Escapar
Lánzala: ¿vuelve o se va?
4 · Escapar
¿Qué trayectoria sigue? Depende de $E_m$
$E_m < 0$: ligada
Elipse (o circunferencia). Siempre vuelve.
$E_m = 0$: parábola
Escapa justo: llega al infinito con $v = 0$.
$E_m > 0$: hipérbola
Escapa y le sobra velocidad en el infinito.
La velocidad de escape es justo la frontera: $E_m = 0$.
A la pizarra · 4 · Escapar · PAU Andalucía 2019 · Ordinaria · Reserva A
Escapar desde una órbita
a) Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape desde esa órbita es la mitad que desde la superficie terrestre. ¿A qué altura está el satélite?
b) En un planeta esférico de radio $2200\,\text{km}$, la gravedad en su superficie es $g_0 = 5{,}2\,\text{m s}^{-2}$. i) Determine la masa del planeta. ii) Calcule la velocidad de escape desde su superficie.
Solución · PAU Andalucía 2019 · Ordinaria · Reserva A
a) La velocidad de escape desde una distancia $r$ del centro de la Tierra es la mínima que permite al cuerpo llegar al infinito con velocidad nula ($E_m = 0$):
El satélite orbita a una altura igual a tres radios terrestres sobre la superficie. (El ejercicio no da $R_T$; con $R_T\approx6370\,\text{km}$, $h\approx1{,}91\cdot10^{4}\,\text{km}$.)
b.i) De $g_0 = GM/R_p^2$ con $R_p = 2{,}2\cdot10^{6}\,\text{m}$:
Cambiar de órbita: $\;W = \dfrac{GM_Tm}{2}\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
Escapar desde ella: $\;W = 0 - E_m = \dfrac{GM_Tm}{2r}$
Error típico: calcular solo $\Delta E_p$ (subirlo) y olvidar la energía cinética que necesita para quedarse en órbita.
La rotación de la Tierra ayuda
En el ecuador el cohete ya va a $\omega R_T \approx 465$ m/s hacia el este: por eso se lanza hacia el este. (En la PAU casi siempre se desprecia.)
A la pizarra · 5 · Satélites · PAU Andalucía 2018 · Ordinaria · Titular
Situar un satélite a 100 km
a) Un satélite describe una órbita circular en torno a la Tierra. ¿Cómo cambiaría su velocidad orbital si la masa de la Tierra se duplicase manteniendo el radio? ¿Y su energía mecánica?
b) Se desea situar un satélite de $100\,\text{kg}$ en una órbita circular a $100\,\text{km}$ de altura. i) Determine la velocidad inicial mínima para que alcance dicha altura; ii) la velocidad necesaria para mantenerse en órbita.
b) $R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\,\text{m}$, $r = 6{,}47\cdot10^{6}\,\text{m}$.
i) Se lanza desde la superficie y la velocidad mínima es la que le permite llegar a $r$ con velocidad nula. Conservación de la energía mecánica (solo actúa la gravedad, conservativa):
$$\tfrac12 m v_0^2 - \frac{GMm}{R_T} = 0 - \frac{GMm}{r}$$
Una vez a esa altura (con $v=0$), hay que comunicarle esta velocidad en dirección perpendicular al radio (tangente a la órbita). La masa del satélite no interviene en ninguno de los dos resultados.
Kepler (1609–1619), con las medidas de Tycho Brahe, encontró tres leyes que describen el movimiento de los planetas.
1.ª ley: los planetas describen elipses con el Sol en uno de los focos.
Elipse: los puntos con $r_1 + r_2 = 2a$. La excentricidad $e$ mide lo achatada que es: $e = 0$ es un círculo.
La Tierra: $e = 0{,}017$, casi un círculo. El cometa Halley: $e = 0{,}97$.
6 · Kepler y el momento angular
2.ª ley: áreas iguales en tiempos iguales
2.ª ley: la línea Sol–planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
Por eso el planeta va más deprisa cerca del Sol (perihelio) y más despacio lejos (afelio).
La Tierra pasa por el perihelio a principios de enero y va un 3 % más rápido que en julio.
No es una casualidad: es consecuencia de que la gravedad es una fuerza central. Lo demostramos enseguida.
6 · Kepler y el momento angular
3.ª ley: $T^2 \propto a^3$
3.ª ley: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor.
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,\cM{M_\odot}}\,a^3$$
La constante solo depende de la masa del astro central, no del planeta.
Sirve para «pesar» astros: con $T$ y $a$ de una luna, sale la masa de su planeta.
6 · Kepler y el momento angular
Fuerzas centrales
Una fuerza es central si en todo momento apunta hacia (o desde) un punto fijo $O$:
$$\cF{\vec F} = F(r)\,\vec u_r$$
La gravedad lo es: siempre hacia el centro del Sol o de la Tierra. También la eléctrica entre dos cargas.
Su momento respecto de $O$ es nulo: $\;\vec\tau = \vec r \times \cF{\vec F} = 0$, porque $\vec F$ y $\vec r$ son paralelos.
6 · Kepler y el momento angular
Demostración: se conserva el momento angular
El momento angular de $m$ respecto de $O$: $\;\vec L = \vec r \times \vec p = m\,\vec r \times \vec v$.
1Derivamos el producto:
$$\frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r}{dt}\times m\vec v + \vec r \times m\,\frac{d\vec v}{dt}$$
2$\dfrac{d\vec r}{dt} = \vec v$, y $\;\vec v \times m\vec v = 0$: un vector por sí mismo.
3$m\,\dfrac{d\vec v}{dt} = \cF{\vec F}$, así que $\;\dfrac{d\vec L}{dt} = \vec r \times \cF{\vec F} = \vec\tau$.
4Si la fuerza es central, $\vec F \parallel \vec r$ y $\vec r \times \vec F = 0$:
$$\frac{d\vec L}{dt} = 0 \;\Longrightarrow\; \vec L = \text{constante}$$
Con una fuerza central, el momento angular se conserva en módulo, dirección y sentido.
Es el equivalente de rotación de $\vec F = d\vec p/dt$: ahora $\vec\tau = d\vec L/dt$.
6 · Kepler y el momento angular
Qué significa que $\vec L$ sea constante
Dirección fija: órbita plana
$\vec r$ y $\vec v$ son siempre perpendiculares a $\vec L$: el movimiento ocurre en un plano.
Módulo fijo: la 2.ª ley de Kepler
$dA = \tfrac12\,|\vec r \times d\vec r|$, así que $\dfrac{dA}{dt} = \dfrac{|\vec r \times \vec v|}{2} = \dfrac{L}{2m} = $ cte.
Perihelio y afelio
Ahí $\vec r \perp \vec v$, así que $L = m\,r_p v_p = m\,r_a v_a$: $\;r_p\,v_p = r_a\,v_a$.
6 · Kepler y el momento angular · ejemplo
El cometa Halley
Perihelio: $r_p = 8{,}8\cdot10^{10}$ m ($0{,}59$ UA), con $v_p = 54{,}6$ km/s. Afelio: $r_a = 5{,}25\cdot10^{12}$ m ($35{,}1$ UA). a) Velocidad en el afelio. b) Periodo.
aLa gravedad es central, así que se conserva $L$:
$\;r_p v_p = r_a v_a \Rightarrow v_a = \dfrac{8{,}8\cdot10^{10}\cdot 54{,}6}{5{,}25\cdot10^{12}} \approx \mathbf{0{,}92\ km/s}$
bSemieje mayor: $a = \dfrac{r_p + r_a}{2} = 17{,}8$ UA. Con la 3.ª ley, comparando con la Tierra ($T = 1$ año, $a = 1$ UA):
$\;T = a^{3/2} = 17{,}8^{3/2} \approx \mathbf{75}\ \text{\textbf{años}}$
En el perihelio va casi 60 veces más rápido que en el afelio. Volverá a verse en 2061.
A la pizarra · 6 · Kepler · PAU Andalucía 2024 · Extraordinaria · Reserva
Perihelio, afelio y una altura máxima
a) El perihelio ($P$) y el afelio ($A$) son los puntos de la órbita elíptica de la Tierra que se encuentran más cerca y más lejos del Sol, respectivamente, siendo $r_P$ y $r_A$ las distancias de la Tierra al Sol en $P$ y en $A$. Encuentre razonadamente la relación que existe entre las velocidades orbitales de la Tierra en $P$ y $A$, y justifique en cuál de los dos puntos se desplaza la Tierra más rápidamente.
b) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de $2\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$. i) Calcule la altura máxima que alcanza el objeto. ii) Una vez alcanzada dicha altura, ¿cuál es su velocidad de escape?
a) La fuerza gravitatoria que el Sol ejerce sobre la Tierra es central: su línea de acción pasa siempre por el Sol. Su momento respecto a ese punto es, por tanto, nulo:
En el perihelio y en el afelio la velocidad es perpendicular al vector de posición (son los extremos del eje mayor), de modo que el módulo del momento angular vale simplemente $L = m\,v\,r$. Igualando en ambos puntos:
Como el perihelio es el punto más cercano, $r_P < r_A$, el cociente $r_A/r_P > 1$ y por tanto
$$v_P > v_A$$
La Tierra se desplaza más rápidamente en el perihelio. Es la traducción de la segunda ley de Kepler: para barrer áreas iguales en tiempos iguales, cuando el radio es corto la velocidad debe ser grande.
(La aproximación de campo uniforme, con $g_0 = GM_T/R_T^2 = 9{,}83\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$, daría $h = v_0^2/2g_0 = 203\,\text{km}$: un $3\,\%$ menos. Se parece, pero el enunciado da $G$ y $M_T$ precisamente para que se haga bien.)
b) ii) La velocidad de escape desde una distancia $r$ del centro de la Tierra se obtiene imponiendo energía mecánica total nula:
Con Kepler, las estrellas lejanas del centro de una galaxia deberían ir más despacio ($v = \sqrt{GM/r}$), como los planetas exteriores.
Pero se miden velocidades casi constantes: la curva de rotación es plana.
Hay mucha más masa de la que vemos (unas 5 veces): la materia oscura. Qué es exactamente sigue siendo un misterio.
Más allá: la gravitación en el universo
Agujeros negros, exoplanetas y ondas gravitacionales
Agujeros negros
Si ni la luz escapa, $v_e = c$:
$$R_s = \frac{2GM}{c^2}$$
El Sol tendría que caber en 3 km; la Tierra, en 9 mm.
Exoplanetas
Con el periodo y la órbita de un planeta, la 3.ª ley de Kepler da la masa de su estrella. Ya se conocen más de 5000.
Ondas gravitacionales
Dos agujeros negros girando «sacuden» el espacio. Einstein las predijo en 1916; LIGO las detectó en 2015.
8 · Para el examen
Lo que hay que deducir, sí o sí
Las orientaciones oficiales de la PAU de Andalucía (2026-27) dicen que estas expresiones se deben deducir siempre antes de usarlas:
Velocidad orbital
$v = \sqrt{GM/r}$
Periodo orbital
$T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$
3.ª ley de Kepler
$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,r^3$
Energía mecánica en la órbita circular
$E_m = -\dfrac{GMm}{2r}$
Velocidad de escape
$v_e = \sqrt{2GM/R_p}$
No hace falta deducir
El campo terrestre, $g_0 = GM_T/R_T^2$: se usa directamente.
Y la regla de oro del documento: en caso de duda, se debe deducir la expresión.
8 · Para el examen
Todo sale de tres ideas
① La gravedad es la fuerza centrípeta $$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$$
→
Velocidad orbital$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$
→
Periodo$$T = \frac{2\pi r}{v}$$
→
Kepler 3$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$$
② Sumar $E_c$ y $E_p$ $$E_m = \tfrac12 mv^2 - \frac{GMm}{r}$$
→
Energía en la órbita$$E_m = -\frac{GMm}{2r}$$
③ Conservación de la energía $$E_m(R_p) = E_m(\infty) = 0$$
→
Velocidad de escape$$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_p}}$$
Si te sabes las tres ideas de la izquierda, las cinco fórmulas salen en un par de líneas. No hay que memorizarlas: hay que saber de dónde salen.
8 · Para el examen · Deducción 1
Velocidad orbital
1En la órbita circular, la única fuerza es la gravitatoria y apunta al centro: hace de fuerza centrípeta.
2$$\cF{\frac{GMm}{r^2}} = m\,\frac{\cK{v}^2}{r}$$
3Se simplifican $m$ y una $r$: $$\cK{v} = \sqrt{\frac{GM}{r}}\qquad r = R_p + h$$
No depende de la masa del satélite. Cuanto más lejos, más despacio.
8 · Para el examen · Deducciones 2 y 3
Periodo orbital y tercera ley de Kepler
1Partimos de la velocidad orbital (deducida antes): $\;v = \sqrt{GM/r}$.
2El movimiento es circular uniforme: en un periodo recorre una vuelta, $2\pi r$: $$v = \frac{2\pi r}{T} \;\Longrightarrow\; T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$
$E_m = -E_c = \tfrac12 E_p$. Es negativa: el satélite está ligado a la Tierra.
8 · Para el examen · Deducción 5
Velocidad de escape
Definición: la velocidad mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que llegue al infinito (donde $E_p = 0$) sin ayuda de motores, es decir, con velocidad final nula.
1Solo actúa la gravedad, que es conservativa: la energía mecánica se conserva.
2$$\underbrace{\tfrac12 m \cK{v_e}^2 - \frac{GMm}{R_p}}_{\text{en la superficie}} = \underbrace{0 + 0}_{\text{en el infinito}}$$
Desde una órbita, lo mismo con $r$ en lugar de $R_p$ (y la energía de partida es la de la órbita). No depende de la masa ni de la dirección de lanzamiento.
8 · Para el examen
Por qué hay que deducir: así se puntúa
Modelo oficial de examen 2026-27, apartado a2: «Defina y deduzca la velocidad de escape para un cuerpo que está sobre la superficie de la Tierra.» (1 punto)
0,25Definición
0,5Principio de conservación y resolución
0,25Expresión final
Escribir solo $v_e = \sqrt{2GM_T/R_T}$, aunque esté bien, vale 0,25 de 1. Lo que puntúa es el razonamiento.
En el examen, siempre: principio físico en palabras → ecuación general → despejar → sustituir con unidades.
A la pizarra · 8 · Para el examen · Modelo oficial PAU Andalucía 2026-27
Un satélite a 4000 m/s
b2) Un satélite artificial de $500\ \text{kg}$ describe una órbita alrededor de la Tierra con una velocidad de $4000\ \text{m s}^{-1}$. Calcule: i) (0,75 puntos) la energía mecánica del satélite en la órbita; ii) (0,75 puntos) la energía que se ha necesitado para situarlo en dicha órbita desde la superficie terrestre.
i) En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta: $\dfrac{GM_Tm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r} \Rightarrow v^2 = \dfrac{GM_T}{r}$. De aquí, el radio de la órbita:
ii) Los motores realizan un trabajo no conservativo: $W_{nc} = \Delta E_m$. En la superficie (en reposo, sin tener en cuenta la rotación) solo hay energía potencial: